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Congruence



  1. #1
    Liet Kynes

    Congruence


    ------

    26 ≡ 12 (7)

    Cette notation indique que 26 est congruent à 12 modulo 7 dans wikipedia.

    Sur cette page, https://maths-olympiques.fr/wp-conte...arith_base.pdf j'ai cette définition:

    Soit n un entier non nul. On dit que a e t b sont congrus modulo n si n divise a−b.On note a≡b[n], ou encore a=b(modn)

    Pour a=26 et b=12, 26-12=14 et 14/7=2. Donc c'est cohérent.

    Sur la page citée ci dessus j'ai aussi:

    Lorsque l'on effectue une division Euclidienne de a par n sous la forme a=nq+r, on a a≡r[n], donc tout entier est congru modulo n à un et un seul entier parmi{0,1,...,n−1}.

    26=7*3+5 on a 26≡5[7]

    Donc pourquoi est-il noté 26 ≡ 12 (7) sur la page wikipedia? https://fr.wikipedia.org/wiki/Congru...%C3%A9finition

    J'ai l'impression que je fait une confusion dans les classes d'équivalence mais j'ai du mal à l'identifier.


    Wikipedia (extrait):
    Le caractère utilisé pour exprimer la congruence de deux entiers est ≡.

    On peut exprimer que a et b sont congruents modulo n sous quatre formes :

    a ≡ b (n) ;
    a ≡ b [n] ;
    a ≡ b (mod n) ;
    a ≡ b mod n (notation de Gauss)1.

    La dernière est celle préconisée par la norme ISO 80000-2 de 2009.

    Quelle que soit la notation choisie, ceci se lit « a est congru à b modulo n ».

    Par exemple : 26 ≡ 12 (7) car 26 – 12 = 14, multiple de 7 (définition ci-dessus), ou encore : car 26 et 12 ont tous les deux 5 comme reste dans la division par 7 (définition équivalente ci-dessus).


    -----

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  3. #2
    albanxiii

    Re : Congruence

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    J'ai l'impression que je fait une confusion dans les classes d'équivalence mais j'ai du mal à l'identifier.
    mais aussi , donc .

    Si on parle de classes d'équivalences pour la congruence modulo alors 5 et 12 représentent le même élément. Une de mes profs de maths disait quelque chose comme "tous les éléments d'une classe d'équivalence en sont des représentants". Il faut comprendre qu'on dit la même chose dans ce contexte si on utilise 5 ou 12. D'ailleurs, on peut aller un peu plus loin et parler du groupe . Par convention (ou pour d'autres raisons que les mathématiciens du forum vous expliqueront... là on sort de mon domaine de confort) on nomme les éléments de ce ensemble par le représentant de leur classe d'équivalence inférieur à 7, pour qu'il y ait une seule écriture.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  4. #3
    gg0

    Re : Congruence

    Il faut éviter de faire dire aux phrases mathématiques ce qu'elles ne disent pas :

    "Lorsque l'on effectue une division Euclidienne de a par n sous la forme a=nq+r, on a a≡r[n], donc tout entier est congru modulo n à un et un seul entier parmi{0,1,...,n−1}."
    Cette phrase ne dit pas que a n'est congru à aucun autre entier. Et si on réfléchit 3 secondes à la définition de "congru" (On dit que a e t b sont congrus modulo n si n divise a−b) on se rend compte qu'il y a même une infinité de nombres b qui sont congrus à a.

    Pourquoi écrire un message de 21 lignes au lieu de réfléchir ? Tu fais du flood, Liet.

    Cordialement.

  5. #4
    Liet Kynes

    Re : Congruence

    Merci pour vos réponses, je crois bien que je suis parti sur une perception complètement différente et beaucoup plus restreinte de ces relations à priori.. je vais réfléchir et je reviens quand j'aurai bien cerner le fonctionnement.

  6. #5
    Liet Kynes

    Re : Congruence

    Bonjour, je n'ai pas eu de temps pour revenir mais j'ai resituer la notion:


    Pièce jointe 399033


    Dans mon tableau j'ai Z en haut ( je n'ai représenté que la partie N) en restant sur l'exemple pris au début l'anneau Zn est en rouge (0 à 6).

    En prenant l'idée que le reste de a/n indique la condition pour que a soit divisible, 26≡5(mod7) et 26-5=21 on peut aussi calculer ce qu'il manque à un entier a pour devenir divisible: a≡r(modn) reste 5 donc a-r+n est divisible par n, si m=a-r+n m est l'inverse d'un reste (un" manque" ou déficit" ?)

    mod inv.jpg

    J'ai remarqué que si j’additionne la somme des restes et des "manques" pour tout a/n de n=1 à a j'obtiens la somme des nombres de a à 1 soit (a²+a)/2
    Par exemple somme des restes de 11=0+1+2+3+1+5+4+3+2+1+0=22 et somme des "manques" de 11=1+1+1+1+4+1+3+5+7+9+11=44 et 22+44=66
    autrement dit l'écart entre les "manques" et les restes me permet de construire une relation entre mes deux tableaux avec (somme des restes de a) + (somme des manques de a)=(a²+a)/2
    et si je nomme Sr(a) la somme des restes et Sm(a) la somme des manques Sr(a)+Sm(a)/a=a+1/2

    L'idée de "manque" ou "déficit" est-elle aussi une relation d'équivalence, peut-on parler aussi de congruence?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Congruence

    Bonjour.

    On ne peut pas lire encore ton document, mais avec ce que tu expliques, on se rend compte que tu as plus de 2000 ans de retard sur les mathématiciens grecs, et une autre raison d'être en retard (intellectuel, cette fois) : Eux démontraient leurs affirmations, toi tu te contentes de constater sur un exemple, ce qui est le degré 0 des mathématiques.

    Pourquoi écris-tu tous ces longs messages sans aucun intérêt ? Pour te faire mousser ? Pour faire croire à quelqu'un de particulièrement incompétent en maths que tu t'y connais (ce qui est faux) ? Parce que tu te crois un génie (ce qui est aussi faux) ? parce que tu es fier d'avoir trouvé ce que n'importe qui peut trouver, mais n'importe qui (sauf toi) n'en fait pas un fromage ? Il est facile de faire de vrais calculs et surtout d'apprendre les mathématiques du collège, que tu te refuses à pratiquer.

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  10. #7
    Liet Kynes

    Re : Congruence

    Bonjour, je remet mon tableau qui n'est pas passé dans mon précédent message à priori:

    Pièce jointe 399086

    @gg0 , vous êtes un peu sévère :

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    On ne peut pas lire encore ton document, mais avec ce que tu expliques, on se rend compte que tu as plus de 2000 ans de retard sur les mathématiciens grecs, et une autre raison d'être en retard (intellectuel, cette fois) : Eux démontraient leurs affirmations, toi tu te contentes de constater sur un exemple, ce qui est le degré 0 des mathématiques.
    J'ai placé un exemple et j'ai tenté de l'illustrer effectivement: si j'avais fait la démonstration je n’aurai pas besoin de poser ma question.

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pourquoi écris-tu tous ces longs messages sans aucun intérêt ?
    Si vous me dites en quoi ils ne présentent pas d’intérêt cela me ferra avancer, j’admets que ce que je peux écrire peut ne pas présenter de sens également .

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pour te faire mousser ? Pour faire croire à quelqu'un de particulièrement incompétent en maths que tu t'y connais (ce qui est faux) ? Parce que tu te crois un génie (ce qui est aussi faux) ? parce que tu es fier d'avoir trouvé ce que n'importe qui peut trouver, mais n'importe qui (sauf toi) n'en fait pas un fromage ?
    Je cherche à comprendre pas à expliquer quoi que ce soit .

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Il est facile de faire de vrais calculs et surtout d'apprendre les mathématiques du collège, que tu te refuses à pratiquer.
    Je n'ai pas de plan de travail, je n'en ai pas trouvé, j’essaie de m'y retrouver en m'aidant de ce site : http://www.elemathique.com/index.php . le truc c'est que je passe de page en page dés que je rencontre un terme ou une notion que je ne connais pas et je ne boucle pas la boucle.
    Je me rend compte que pour comprendre il me faut des exemples et des reformulations ce qui n'est pas forcement la démarche utilisée pour beaucoup de notions de maths.

  11. #8
    gg0

    Re : Congruence

    Si ton site ne convient pas, cherche un outil qui te convienne. Par exemple prends des manuels de cours de maths du lycée (de préférence des ouvrages utilisés en 2000, ou en 1960) sur le marché de l'occasion, et apprends vraiment les techniques de calcul.

    Tu vas encore dire que je suis sévère, mais c'est seulement la vérité :
    Tu baratines sur des idées qui sont explicables par des formules simples (C'est quoi " le reste de a/n", comment ça se calcule avec la connaissance de a et n ? Quel rapport avec les congruences ?) ou des phrases précises (s'il y a des choses précises, elles sont noyées dans le reste du baratin), et tu développes de longs tableaux qui ne disent rien. Autrement dit, tu as des idées floues et tu ne communiques pas. Moi, je me refuse à chercher longuement à comprendre quelqu'un qui n'a pas fait lui-même ce travail d'avoir les idées claires.

    Encore une fois, ce que tu fais, ça n'est pas des maths. Tu es comme celui qui prétend faire du marathon parce qu'il a couru de la porte de la maison à la grille du jardin, 10 m plus loin.

    Donc, si ce que tu dis est vrai ("Je cherche à comprendre pas à expliquer quoi que ce soit"), commence par extraire ce que tu cherches à comprendre, dis-le en une ou 2 phrases (s'il t'en faut 3, c'est que tu ne comprends pas de quoi tu veux parler : "Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement"), et on pourra t'aider. mais fais ta partie d'abord.

  12. #9
    gg0

    Re : Congruence

    En complément, évite de chercher midi à 14 h. Une définition mathématique ne dit rien de plus que ce qui est écrit, pas de mystère caché, rien de plus.
    dit simplement que a-b est un multiple entier de n, autrement dit qu'il existe un entier k tel que a=b+kn.

  13. #10
    Liet Kynes

    Re : Congruence

    Bonjour,

    Merci pour ce complément qui parait simple mais intègre à priori une masse de notions importantes.
    L'idée de ne pas chercher 12H00 à 14H00 est pas mal dans la thématique de ce post.. promis je vais faire l'effort de le trouver à 0H00 et laisser 14H00 à 2H00..

    J'ai identifié (avec justesse ou non) la nécessité d'étudier les structures algébriques et leurs propriétés, la relation binaire entre deux ensembles / les relations d'équivalence.
    Il y a avant un certain nombres de pré-requis mais comme la porte de ma maison et à l'opposé du jardin j'ai un peu peur de me perdre dans l'étude de concepts inutiles d'autant que j'ai les défauts à la fois du lièvre et de la tortue dans l'histoire de LAFONTAINE.

  14. #11
    gg0

    Re : Congruence

    J'ai appris tout ça seul en fin de lycée, dans des bouquins, ça va vite et ça éclaircit les idées. Et si on arrête de croire qu'il y a des choses cachées derrière les définitions, il n'y a pas tant que ça à apprendre.

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