Exercice de recherche sur les diagonales d’un quadrilatère

[Marmus1021]

Bonjour à tous !
J’ai un exercice à faire, un exercice «*de recherche*», c’est à dire où on ne nous donne pas beaucoup d’indications sur la démarche à suivre...
Soit ABCD un quadrilatère tel que :
AB = 3 racine de 7
BC = 6
CD = 3
DA = 6

La question est simplement : Que peut-on dire des diagonale de ABCD.

D’apres mon brouillon, j’ai l’impression que ces diagonales sont perpendiculaires, mais il va falloir le démontrer. Pour ça je pensais au produit scalaire puisque c’est le chapitre sur lequel nous travaillons...
Si quelqu’un a une idée, je suis preneur
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[Resartus]

Bonjour,
Exercice pas si simple de nos jours : il faut utiliser al kashi.

Si on suppose que la diagonale AC a une longueur l inconnue, avec les points B et D de part et d'autre, vous pouvez trouver les cosinus de BAC et DAC (ce sera des fonctions de l)
Puis, si on appelle par exemple E et F les projections respectives de B et D sur AC, on calcule AE et AF, et on pourra conclure...

[invite51d17075]

Avant d'en venir là, il convient de préciser qu'il existe une infinité de quadrilatères avec ces longueurs.
( il suffit de prendre 4 bouts de cordes et de voir que la structure est déformable (*) ).
Ce qu'on peut dire facilement c'est que comme BC=DA, il existe une solution qui donne un trapèze isocèle ( ou AB est // DC )
Et dans ce cas les diagonales ont la même longueur , mais ne sont pas perpendiculaires.

Reste peut être une seconde question, existe-il une solution avec des diagonales perpendiculaires, et surtout laquelle ?
c'est effectivement géométriquement plus complexe.

(*) on peut visualiser les solutions en imaginant C sur un cercle de centre B et de rayon 6, D sur un cercle de centre A et de même rayon , tout en respectant CD=3

[Resartus]

Bonjour,
Eh non, Ansett, Elles sont bien perpendiculaires, que ce soit dans ta configuration trapèze isocéle, ou dans toutes les autres configuration, c'est à dire pour toutes les valeurs possibles du paramètre que j'appelle l=longueur de AC dans ma réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

effectivement, j'allais corriger cette grosse erreur !!!

[invite51d17075]

j'y reviens avec une approche lycée ( et produits scalaires ).
On a ( en norme ):
AB=3rac(7)
AD=BC=6
CD=3
On peut remarquer que

donc






Les diagonales sont perpendiculaires.

ps: on doit peut être pouvoir simplifier les écritures.

[invite51d17075]

Edit: trop tard, je voulais corriger en m’arrêtant à la deuxième ligne après le "donc".
afin de laisser finir le travail.