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Démonstration, PGCD et nombres premiers



  1. #1
    Meiosis

    Démonstration, PGCD et nombres premiers


    ------

    Bonjour,

    J'aimerais vérifier que le PGCD suivant retourne soit 1 soit des nombres premiers uniquement or je n'en suis pas certain.
    Existe-t-il une façon connue de démontrer que les nombres retournés sont soit 1 soit uniquement des nombres premiers ?

    J'ai fait un programme python et ça rame vers n=900, je n'ai donc pas trouvé de contre-exemple pour l'instant.

    PGCD de et de n.

    Avec les mêmes notations que mon précédent topic, soit phi(n) l'indicatrice d'Euler et sigma(n) la somme des diviseurs de n.

    J'ai bien une piste mais je n'en suis pas certain, il s'agirait de constater que les PGCD retournés sont tous inférieurs à n et ensuite montrer que tous les PGCD inférieurs à n sont soit 1 soit premiers.

    Je vous remercie par avance.

    -----

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  3. #2
    ansset

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    es tu sûr de ton écriture, car sous réserve que j'applique mal la def de
    si n est premier


    car n est premier.
    d'où pb avec le PGCD
    Dernière modification par ansset ; 01/12/2019 à 16h44.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    Meiosis

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    Oui je suis certain. Par exemple sous wolframalpha on voit qu'avec n=1202 on a 601 qui est premier : https://www.wolframalpha.com/input/?...29-1%2C1202%29

    Voilà ça permet d'enlever tout doute sur l'écriture.

    Pour n premier on revient sur les définitions classiques je suis d'accord mais pour les autres cas je ne vois pas comment démontrer que le PGCD obtenu est soit 1 soit un nombre premier.

  5. #4
    ansset

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    OK, mais 1202 n'est pas premier.
    on va donc s'intéresser aux autres, mais j'espère qu'on ne va pas retomber sur une conjecture ( dont je n'ai plus le nom ) qui n'est pas encore démontrée.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    gg0

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    Bonjour Meiosis.

    Tu devrais pouvoir faire des essais de bien plus grands nombres en utilisant Pari-GP.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Meiosis

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    @ansset : oui 1202 n'est pas premier, c'est juste la valeur que prenait n dans mon exemple.
    Pour la conjecture j'espère qu'on ne va pas être bloqué effectivement.

    @gg0 : bonjour et merci pour le logiciel, je vais regarder ça.

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  10. #7
    ansset

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    ça titille les neurones ton histoire ... (*)
    est ce une conjecture que tu as "inventé" ou bien tu l'as vu qcq part ?
    j'ai essayé en commençant par n=pq avec p et q premiers entre eux puis n=pk, et rien que ça ce n'est pas évident.

    (*) on connait pas mal de propriété sur , mais aucune n'aboutit directement.
    voir le site wiki.

    ps: et tu postes ça en "collège et Lycée"
    Dernière modification par ansset ; 02/12/2019 à 21h04.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    Meiosis

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    C'est une conjecture que j'ai inventée. Mais n'ayant pas les connaissances pour la démontrer je voulais la mettre ici et apparemment ça s'avère plus difficile que prévu, je ne m'y attendais pas car habituellement ce que je trouve reste basique.

  12. #9
    ansset

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    ben, celle d'avant était ultra simple / celle-ci.
    tu es en quelle classe ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    ansset

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    ps: et pourtant tu ne semble pas y avoir vu "l'astuce" ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    Meiosis

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    J'ai un niveau terminale S qui date de 2011 donc ce n'est plus très frais. C'est juste par curiosité que j'essaye de faire des conjectures. J'ai toujours eu de la facilité pour conjecturer mais pas pour démontrer.

  15. #12
    ansset

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    en tout cas, là, tu t'attaques à du lourd j'ai l'impression ...
    tu n'as pas poursuivi en maths après ta TS ?

    ps: ma TS date de beaucoup plus loin, mais j'ai tj pris les maths comme un jeu, même si j'ai eu l'opportunité de pouvoir continuer après, y compris au boulot.
    Dernière modification par ansset ; 03/12/2019 à 01h32.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  17. #13
    Meiosis

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    Non j'ai poursuivi en biologie.

    Je suis tombé sur un article d'Eric Rowland assez similaire, il a trouvé un PGCD ne donnant que 1 ou des nombres premiers et il l'a démontré : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA09019.pdf

    Ici j'ai un autre PGCD, je ne sais pas si on peut procéder de manière similaire.

    Voici l'article en anglais : https://arxiv.org/pdf/0710.3217.pdf

    C'est hors de ma portée.

  18. #14
    ansset

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    re-
    tu pourrais mettre ton "énigme conjoncturelle" en Science Ludique , il est possible que cela attire les "très forts" en maths d'ici, dont je ne fais pas parti.(*)
    mais auparavant, il serait intéressant que tu testes sur de grands nombres (voir la suggestion de gg0 ).
    en tout cas bravo pour cette curiosité enrichissante.
    cordialement.

    (*) ta première conjecture était assez triviale , elle.
    Dernière modification par ansset ; 03/12/2019 à 03h15.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #15
    Meiosis

    Re : Démonstration, PGCD et nombres premiers

    Bonjour,

    Je vais tester avec de grands nombres (je ne sais coder qu'en Python donc avec Pari-GP je ne sais pas ce qu'il va en être). J'ai trouvé un outil en ligne : https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html
    Mais cela nécessite de tester chaque "n" un par un, c'est assez long.

    Si je ne trouve pas de contre-exemple je posterai en science ludique.

    Merci pour votre aide en tout cas.

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