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Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236



  1. #1
    VietSombre

    Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236


    ------

    Bonjour, je suis lycée en classe de 2nde et ma prof de maths nous a mit un dm en supposant par l'absurde de démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236. J'ai effectué quelques recherches sur Google et il se fait que j'ai trouvé la réponse mais j'aimerai que quelqu'un m'explique car c'est un peu compliqué.

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Il te suffit de revenir à la définition de la racine carrée (très utile en lycée et après). Pas besoin d'autre recherche (je ne sais pas ce que tu as trouvé comme réponse !!)
    Une fois que tu l'as revue (complète, avec tous les mots), tu peux calculer 2,236² (calcul exact) et conclure.

    Si là encore tu ne comprends pas, reviens, écris la définition exacte de la racine carrée, puis celle de la racine carrée de 5, et la valeur de 2,236².

    Cordialement.

  4. #3
    VietSombre

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Screenshot_4.png

    J'avais trouver ceci. Mais ton explication est très claire merci beaucoup.

  5. #4
    albanxiii

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Bonjour,

    Citation Envoyé par VietSombre Voir le message
    J'avais trouver ceci. Mais ton explication est très claire merci beaucoup.
    Gg0 est allé au plus simple et au plus direct compte tenu de votre question.

    Il existe évidemment plein de façons différentes de montrer que , mais si vous avez une idée de méthode particulière en tête il faut le dire si vous voulez de l'aide dans cette direction.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  6. #5
    minushabens

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Une démonstration par l'absurde, qui a l'avantage de pouvoir être généralisée est la suivante: tu supposes que 2.236 est bien la racine carrée de 5. Tu écris 2.236=2236/1000. Tu as donc 2236*2236=5*1000*1000 et donc 5 doit être un diviseur de 2236*2236. Mais 5 est premier et donc il doit diviser 2236 (car quand un nombre premier p divise un produit ab, il doit diviser a ou b). Or on voit immédiatement que 5 ne divise pas 2236 (car c'est 2235+1 et que 5 divise 2235).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Bonjour Vietsombre.

    Une simple calculatrice fait la même chose que l'algorithme de Heron. Par exemple, celle de Windows donne 2,23606797749979, ce qui montre bien que la valeur vraie de racine carrée de 5 n'est pas 2,236; même si la calculatrice donne encore une valeur approchée (mais avec moins de 0,000000000000005 d'erreur.

    Cordialement.

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  10. #7
    Opabinia

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Bonjour,

    Je crois que gg0 a trouvé le début de la démonstration, mais que celle-ci ne doit pas être liée au développement des décimales de 51/2.

    On peut par exemple exprimer la différence D = 100025 - 22362 = (1000.51/2 + 2236)(1000.51/2 - 2236) = UV .
    Cette différence, aisément calculable, est positive puisqu'elle vaut 304;
    elle est donnée par le produit de deux facteurs dont le premier (U) est positif;
    donc (v) est aussi positif, d'où: 1000.51/2 > 2236 et 51/2 > 2.236 . CQFD

  11. #8
    pm42

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Citation Envoyé par Opabinia Voir le message
    Je crois que gg0 a trouvé le début de la démonstration, mais que celle-ci ne doit pas être liée au développement des décimales de 51/2.
    Déjà, la démonstration de gg0 n'utilise pas le "développement des décimales de 51/2". Voir son message #2 qui est une version exactement ce que vous avez écrit.

    Ensuite, pourquoi on ne pourrait pas ? On calcule un encadrement, on montre que 2.236 n'est pas dedans et c'est fini. C'est une méthode classique et ce que vous faites n'est pas différent.
    Tout multiplier par 1000 afin de se retrouver avec des entiers est juste une astuce pour rendre le calcul plus simple pour un humain mais ne change rien sur le fond.
    Dernière modification par pm42 ; 12/12/2019 à 09h24.

  12. #9
    ansset

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Citation Envoyé par Opabinia Voir le message
    Bonjour,

    Je crois que gg0 a trouvé le début de la démonstration, mais que celle-ci ne doit pas être liée au développement des décimales de 51/2.

    On peut par exemple exprimer la différence D = 100025 - 22362 = (1000.51/2 + 2236)(1000.51/2 - 2236) = UV .
    Cette différence, aisément calculable, est positive puisqu'elle vaut 304;
    elle est donnée par le produit de deux facteurs dont le premier (U) est positif;
    donc (v) est aussi positif, d'où: 1000.51/2 > 2236 et 51/2 > 2.236 . CQFD
    le CQFD est déjà donné par le fait que D est non nul.
    qu'importe qu'il soit positif ou négatif ( on aurait pu prendre 2237 !)

    mais cela revient à la même chose que l'approche de gg0 ( à une puissance mille ).
    et je ne vois pas dans l'énoncé la nécessité de n'utiliser que des entiers.

    mais si cette présentation vous convient mieux, garder là.
    ps : c'était juste pour éviter d'embêter encore les mouches....
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    ansset

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    pps:
    à moins que l'exercice spécifie " sans calculatrice"....
    auquel cas on peut faire le calcul ( à la main) du carré de 2236 .
    qui est différent de 5 000 000, ne serait ce que parce que le dernier chiffre vaut 6 et pas 0. ( et celà sans même aucun calcul )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    gg0

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Bonjour.

    Manifestement Opabinia n'a pas tout lu, j'ai bien l'impression que son message #7 répond à mon message #6 alors que je donnais la méthode élémentaire qu'il complique dès le message #2. Et je n'ai donné aucun début de méthode, seulement deux méthodes. A moins que Opabinia ne sache pas travailler avec les décimaux, "multiplier des nombres à virgule", ce qui expliquerait qu'il en rajoute.
    Dernière remarque : Dès le 9 décembre Vietsombre était satisfait. Pourquoi venir en rajouter sans avoir sérieusement regardé ce qui était dit ?

    Cordialement.

  15. #12
    fartassette

    Re : Démontrer que racine carré de 5 est différent de 2,236

    Bonjour,

    En effet,il existe pleins de façon et de méthode pour résoudre ce type de question. Je pencherai sur un raisonnement par l'absurde en y mêlant la parité et les facteurs premiers.

    Comme ici avec le raisonement par l'absurde ,
    on suppose


    On élève au carré


    On a clairement

    donc , sa voudrait dire que mais je sais aussi que Un nombre pair ne commet jamais d'impair ()

    "le produit de deux entiers est pair si et seulement si au moins un des deux facteurs est pair"

    ....Cordialement,

  16. Publicité

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