Bonjour, pouvez-vous m'aider pour un exercice :
Pour tout nombre complexe z, on définit: P(z)= z^3 + 2(√2 - 1)z²+4(1-√2)z - 8 .
1.a. Calculer P(2)
b.Déterminer deux réels a et b tels que :
P(z)=(z-2)(z2+az+b)
2°/ Résoudre dans l'équation P(z)=0. On appelle z1 et z2 les solutions de l'équation autres que 2, z1 ayant une partie imaginaire positive.
Vérifier que z1+z2= -2√2.
Déterminer le module et un argument de z1 et z2.
3.b.Placer dans un plan les points : A d'afixe 2, B et C d'affixes respectives z1 et z2 et I milieu de [AB].
3.b. Démontrer que le triangle OAB est isocèle direct. En déduire une mesure de l'angle ( vec u; vecteur OI).
3.c. Calculer l'affixe zI, de I , puis le module de zI
3.d. Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos 3π/8 et sin 3π/8.
1.aP(2)= 0
b.Les réels sont a = 2√2 et b = 4
2.z1 = -√2 + √2i
z2 = -√2 - √2i
z1 + z2 = -√2 + √2i -√2 - √2i = -2√2.
module de z1 = 2
arg(z1) =3π/4 (2π)
module de z2 = 2
arg(z2)= -3π/4 (2π)
3.b. J'ai calculé les longueurs OA et OB. Elles mesurent chacune 2.
OA et OB sont égaux. C'est bien un triangle isocèle. Cependant je ne comprends pas trop ce que c'est isocèle direct.
Je ne vois pas comment en déduire l'angle (u; OI)...
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