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Problème de calcul de probabilité



  1. #1
    Alex060496

    Problème de calcul de probabilité


    ------

    Bonjour à tous, J'essaie d'estimer une probabilité mais je manque un peu de méthode, et j'ai perdu de précieuses compétences en probabilité ces dernières années. Voilà une simplification de mon problème, j'espère que l'un d'entre vous saura me rediriger ou m'apporter des clés pour le résoudre.

    J'ai un paquet de 10 cartes toutes différentes. A chaque tour, je pioche une carte, je note sa valeur, puis la remet dans le paquet, je mélange et je recommence.
    Combien de fois dois-je piocher des cartes pour être sûr (à 95% de chance) d'avoir pioché au moins 5 cartes différentes au cours de mes tours de pioche ?

    Merci d'avance, et très bonne journée,

    Alex

    -----

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  3. #2
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    bjr,
    Citation Envoyé par Alex060496 Voir le message
    Combien de fois dois-je piocher des cartes pour être sûr (à 95% de chance) d'avoir pioché au moins 5 cartes différentes au cours de mes tours de pioche ?
    Avant de prendre le critère des 95% de chance (*), il te faut calculer la probabilité de d'obtenir les 5 cartes différentes en fct du nb de pioches. Soit P(X=N) avec N>=5
    sachant que la probabilité = (nb de cas favorable)/(nb de cas possible ).
    sais tu déjà calculer P(X=5)?

    (*) celle ci fait intervenir l'espérance mathématique qui se calcule à partir des probabiltés obtenues.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    Edit Correction:
    On peut oublier l'espérance mathématique et chercher simplement N tel que
    P(N)>=0,95
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    Alex060496

    Re : Problème de calcul de probabilité

    Tout d'abord merci pour la réponse. Hum ça risque de manquer un peu de formalisme mais pour trouver P(X=5) (=nombre de cas favorable/ nombre de possibilité) je suis parti d'arbres de probabilité plus petits que j'ai généralisé. Pour la probabilité d'avoir exactement 4 cartes différentes en 4 pioches sur un jeu de 6 cartes, j'ai 6*5*4*3=360 possibilités favorables sur 6*6*6*6=1296 cas favorables j'ai donc P(X=4) =360/1296 soit env = 0,278.

    Pour mon jeu de 10 cartes j'aurai donc P(X=5)= 10!/5!/10^5 = 0,3024.
    Est-ce bon et si oui par où dois-je continuer à dérouler le fil du problème ?

    Alexandre

  6. #5
    jall2

    Re : Problème de calcul de probabilité

    ça me paraît difficile ...
    Si tu demandais le nombre de tirages minimum pour piocher les 10 cartes avec une probabilité de 0.95, je pourrais t'aider.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jall2

    Re : Problème de calcul de probabilité

    bonjour

    Une idée qui me passe par la tête
    On peut considérer les applications de {1, 2, ..., n} dans {1,2, .., 10}
    L'ensemble de départ correspond aux différents tirages, il y en a n.
    L'ensemble d'arrivée correspond aux 10 cartes

    On peut calculer le nombre de d'applications qui couvre 5 cartes choisies (des "surjection partielle" en quelque sorte). C'est sauf erreur 5! * S(n, 5) (où S(n, k) nombre de Stirling de 2 ème espèce)
    Puis considérer toutes les façons de choisir ces 5 cartes: C(10, 5) et multiplier par le nombre précédent

    Même chose avec 6 cartes, 7 cartes ... 10 cartes
    Et on additionne tout
    Puis on divise par le nombre d'applications 10^n pour obtenir la probabilité d'avoir tiré au moins 5 cartes différentes
    Dernière modification par jall2 ; 20/01/2020 à 18h23.

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  10. #7
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    c'est ce qu'il demande ( enfin comme ça que je l'interprète ).
    je suis OK pour N=5, mais après ça se complique.
    car il faut implicitement raisonner en "arrangements" et non en "combinaisons".
    Dernière modification par ansset ; 20/01/2020 à 18h24.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    ps : on peux vérifier P(5) avec le raisonnement suivant.
    pioche 1 qcq
    pioche 2 9/10 chance de ne pas repiocher la 1
    pioche 3 8/10 d'éviter les cartes déjà tirées
    etc...
    on peut vérifier que 0,3024=(9*8*7*6)/10^4

    raisonnement que l'on peut aussi appliquer pour N sup à 5 avec des arbres ( mais c'est moins analytique )
    Dernière modification par ansset ; 20/01/2020 à 19h14.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    jall2

    Re : Problème de calcul de probabilité

    bonjour

    J'ai écrit un programme python qui compare la méthode que j'ai décrite avec une simulation et qui semble montrer que ma méthode est correcte.

    Code:
    from denombrement import binomial, S, fact
    from math import randint
    
    C = binomial
    
    # Pour le calcul théorique de la probabilité d'obtenir plus de 5 cartes différentes avec n tirages
    
    def P(n):
        return sum(C(10, k)*fact(k)*S(n, k) for k in range(5, 11))/10**n
    
    # Et pour la simulation
    
    def simu(n, nber_of_trials=100_000):
    	sum = 0
    	success = 0
    	cards = [0 for i in range(10)]
    	for i in range(nber_of_trials):
    		for j in range(n):
    			cards[randint(0, 9)] += 1
    		sum = 10 - cards.count(0)
    		if sum >= 5:
    			success += 1
    		cards = [0 for i in range(10)]
    		sum = 0		
    		
    	return success/nber_of_trials
    
    # On lance
    
    for n in range(5, 12):
    	print(n, P(n), simu(n))
    ça donne

    5 0.3024 0.30143
    6 0.6048 0.60553
    7 0.8013 0.79987
    8 0.9072 0.9074
    9 0.9586 0.95772 --> Donc 9 tirages pour obtenir au moins 5 cartes distinctes avec une proba >= 0.95
    10 0.9821 0.98256
    11 0.9924 0.99294

  13. #10
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    je n'obtiens pas les mêmes résultats.
    qu'est ce qui justifie d'utiliser les nb de stirling de 2ème espèce ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je n'obtiens pas les mêmes résultats.
    par exemple pour N=6 en prenant deux approches différentes de calcul combinatoire
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    jall2

    Re : Problème de calcul de probabilité

    Peux-tu détailler comment tu fais pour n=6 ?

    De mon coté, je dis que:

    - le nombre d'applications f de {1, 2, .., n} dans {1,2,3,.., 10} dont l'image "couvre" k éléments fixés est: (où S désigne les nombres de Stirling de 2ème espèce)

    - le nombre d'applications f de {1, 2, .., n} dans {1,2,3,.., 10} telles que card(Im(f)) = k est: (ou C désigne les coefficients binomiaux)

    - le nombre d'applications f de {1, 2, .., n} dans {1,2,3,.., 10} telles que card(Im(f) >= 5 est:

    - Et enfin la probabilité de piocher au moins 5 cartes différentes parmi 10 en n pioches:

    La simulation et la formule précédente produisent des résultats très proches. Cela ne prouve pas qu'elle soit juste bien sur.
    Dernière modification par jall2 ; 21/01/2020 à 14h30.

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  17. #13
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    j'ai plutôt tendance à te faire confiance.
    d'ailleurs mon premier calcul donnait le même résultat que le tiens.
    je vais donc vérifier mes dernières "combinatoires" avant.
    d'autant qu'elles me semblent donner des résultats trop élevés.

    ps : merci pour l'info concernant les nb de stirling de 2ème espèces.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #14
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    pour répondre à ta question:
    pour N=6, j'ai repris l'esprit de N=5
    6 cartes diff
    10*9*8*7*6*5 ( la première étant qcq )
    5 cartes diff et une identique
    si c'est la seconde
    10*1*9*8*7*6
    la troisième
    10*9*2*8*7*6
    la quatrième
    10*9*8*3*7*5 etc....
    au final
    10(9*8*7*6)(5+1+2+3+4+5)=10*30 24*20
    soit après division par 10^6 P(6)=0,648

    ( le fait que la "première identique" ne soit pas calculé est inclus dans les cas précédent )

    ensuite pour N>6 j'essaye de passer par les combinaisons que je multiplie par les sous arrangements, et là , il y a des pièges partout avec les doublons.(*)
    j'en ai déjà vu un pour mon N=7.

    (*) donc méthode bourrine et casse-gueule.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #15
    jall2

    Re : Problème de calcul de probabilité

    Ok, j'ai compris ton calcul pour P(6) et tu retrouves bien P(6)=0.6048
    On peut donc maintenant affirmer que:

  20. #16
    ansset

    Re : Problème de calcul de probabilité

    Oui et :
    On est loin d'un exo "collège-lycée", mais très instructif.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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