Equivalence

[Houdini195]

Bonjour, J'aurais voulu avoir quelques précisions sur l'utilisation du signe d'équivalence (<=>). Déjà je voudrais savoir s'il y a quelques cas tricky qui pourraient me mettre en garde contre des mauvaises utilisations. Ensuite, j'ai appris que on ne pouvait pas l'utiliser dans certains cas car ce serait une sorte d'argot mathématique? Est ce que vous pourriez me donner plus d'explication? Ma prof l'utilise pourtant tout le temps au tableau et me l'a toujours accepté dans les dm.
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

En mathématiques, le symbole <=> est un symbole purement mathématique, précédé d'une phrase mathématique, suivi d'une phrase mathématique, et signifiant que les deux phrases sont vraies en même temps ou fausses en même temps. Si tu fais attention à ne l'utiliser qu'ainsi, tu n'auras pas de problème.

Cordialement.

[Houdini195]

Donc je peux le mettre entre deux étapes d'une équation sans problème ?
Du style, 3x=3
<=> x=1

Ou il vaut mieux mettre
C'est à dire x=1

[jacknicklaus]

Ce qui est "tricky" pour reprendre ton terme, c'est que <==> doit être valable dans les 2 sens d'implication. Il faut bien s'en assurer si tu emploiex ce signe. Si on ne cherche qu'une conclusion inférée d'une prémisse, il est plus naturel de n'utiliser que l'implication ==>, qui sert exactement à celà

ton exemple
3x = 3 ==> x = 1
on ne voit pas trop l'intérêt d'écrire
3x = 3 <==> x = 1
car on s'en fiche de savoir que x = 1 ==> 3x = 3.

en revanche, si on doit démontrer une propriété "A si et seulement si B", et qu'on peut le faire par enchaînement de
A <==> C
C <==> D
D <==> B
alors c'est parfait, car ca évite de devoir faire la démo dans le sens A vers B, puis de le refaire B vers A. Mais ce n'est pas toujours possible de raisonner que par équivalences

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En lycée, avec des profs "cool", tu peux écrire cela, mais si tu es dans le supérieur, on te reprochera de mettre de <=> partout alors que ce n'est pas l'équivalence qui compte, mais seulement le résultat. Cependant, comme on passera largement sur les "petits calcul", tu auras besoin de prouver des équivalences, et de les écrire correctement.

Attention :

1/(3x)=1/3
<=> 3x=3
<=> x=1
n'est pas lisible. Quelle est la phrase mathématique avant le dernier <=> ? Est-ce 3x=3 ou 1/(3x)=1/3 <=> 3x=3 ?

Cordialement.

[Houdini195]

D'accord je comprends, en plus cela m'a relancé dans d'autres recherches et je crois que j'ai plutôt bien saisi la différence entre si et seulement si pour la première fois
Donc, pour les équations basiques mieux vaut des connecteurs (du genre soit c'est à dire ou encore,...)
Et pour les démonstrations la je réfléchis au sens de ma réflexion et donc aux équivalence ou non à utiliser
C'est ça ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

ton exemple
3x = 3 ==> x = 1
on ne voit pas trop l'intérêt d'écrire
3x = 3 <==> x = 1
car on s'en fiche de savoir que x = 1 ==> 3x = 3.

Ben ça dépend de ce que demande l'énoncé, car si c'est résoudre l'équation , non seulement on ne se fiche pas de l'implication , mais elle est même carrément indispensable pour pouvoir conclure que est l'ensemble des solutions de l'équation.

Donc dans ce cas, l'équivalence est indispensable sinon la résolution de l'équation ne serait pas correcte dans son raisonnement

Cordialement

[PlaneteF]

Je vais détailler mon message précédent :

Si l'on doit résoudre l'équation , càd donner son ensemble de solutions , et que l'on écrit uniquement l'implication :



… cela veut dire en Français que si d'aventure il y a une ou plusieurs solutions, alors cela ne peut pas être autre chose que , mais rien ne nous assure avec cette seule implication qu'il existe une ou plusieurs solutions, on en sait rien, c'était juste une supposition.

De manière plus formelle, cela veut juste dire que mais on pourrait tout aussi bien avoir

En fait, on a avec cette seule implication une condition nécessaire mais pas suffisante, et c'est justement parce que l'on va écrire que l'on peut dire que la condition est aussi suffisante, càd est solution, ou encore

D'où l'importance ici de l'équivalence qui est tout sauf un gadget


Cordialement

[gg0]

Attention,

un usage classique de la rédaction d'équations est que, sauf indication contraire, les différentes lignes du calcul sont équivalentes :

x²+6x+5 = 0
x²+6x+9 -4 = 0
(x+3)² -2² = 0
(x+1)(x+5) = 0
etc.

Cordialement.

[Houdini195]

Je ne comprends pas votre dernier message par rapport à votre avant dernier j'ai tout de même le droit de mettre des signes d'équivalence? Je croyais que c'était illisible car on ne savait pas quelle ligne on parlait. De plus sur les livres on voit fréquemment une succession d'équivalence mais en ligne

[gg0]

Formellement,

une succession d'équivalences ne pose pas de problème. Si A, B et C sont des phrases, (A<=>B)<=>C et A<=>(B<=>C) sont des phrases équivalentes et on peut donc les écrire A<=>B<=>C. Et on veut normalement présenter une équivalence. Pas dire que finalement, A est équivalent à C.
Mais là où tu mets des symboles <=> pour dire autre chose que l'équivalence elle-même, tu fais un défaut de présentation (et si tu vois cela dans des livres, c'est souvent qu'ils sont rédigés à la va vite.

Pour la résolution d'équations ci-dessus, l'idée est aussi une rédaction rapide. En voici une rédaction détaillée :
Existe-t-il des réels x tels que x²+6x+5 = 0 ?
L'égalité est équivalente à x²+6x+9 -4 = 0
Égalité qui est elle-même équivalent à (x+3)² -2² = 0
Et par factorisation, on cherche s'il existe des réels x tels que (x+1)(x+5) = 0

Tu vois que c'est un peu long à rédiger. D'où la rédaction "rapide".

Maintenant, si tu écris
x²+6x+5 = 0
<=> x²+6x+9 -4 = 0
<=> (x+3)² -2² = 0
<=> (x+1)(x+5) = 0
Tu viens d'écrire une phrase mathématique composée de l'équivalence entre 4 égalités. Mais pour l'interprétation, ce que tu veux dire est ce que j'écrivais au-dessus. Et tu as des symboles <=> sans phrase clairement écrite avant. Donc
1) ce n'est pas écrit correctement (utilisation de <=>)
2) si on ne les écrit pas, c'est tout aussi lisible

Enfin, certains, pour éviter le 1 écrivent :
x²+6x+5 = 0 (*)
(*)<=> x²+6x+9 -4 = 0
(*)<=> (x+3)² -2² = 0
(*)<=> (x+1)(x+5) = 0
Si tu tiens à tes équivalences, je préfère, c'est clairement une transformation par équivalences successives de l'équation de départ.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour gg0,

une succession d'équivalences ne pose pas de problème. Si A, B et C sont des phrases, (A<=>B)<=>C et A<=>(B<=>C) sont des phrases équivalentes et on peut donc les écrire A<=>B<=>C. .

Attention A<=>B<=>C veut généralement dire (A<=>B) et (B<=>C) ce qui n'est pas la même chose que (A<=>B)<=>C ou que A<=>(B<=>C) (ces deux dernières étant vraies si A et B sont fausses et C vraie, par exemple) ; la succession d'équivalence ne pose pas de problème parce que [(A<=>B) et (B<=>C)] => (A<=>C)

[Houdini195]

Super merci ! Clair pour moi maintenant