Question : formule pour un ensemble de points quelconque

[batlaizan]

Bonjour,

Une dizaine d'années d'après l'obtention de mon BAC SSI spé maths et ma dérive dans des filières et centres d'intérêts moins scientifiques,
J'en reviens au questionnement rigoureux et me pose la question suivante - j'espère l'avoir formulée dans le respect de la rigueur mathématique :

Soit un repère orthonormé. Pour un ensemble quelconque de points sur ce repère, existe-t-il une fonction ou équation équivalente ? Dans quels cas ?

La question semble basique, je suppose qu'elle a donc déjà été traitée par la recherche dans plusieurs de ses aspects.
Je serais très reconnaissant si l'on pouvait m'indiquer ici une réponse/démonstration et/ou les pistes de recherches selon lesquelles le problème a été traité - par pure curiosité

Merci d'avance !

batlaizan
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Pour un ensemble quelconque de points sur ce repère, existe-t-il une fonction ou équation équivalente ? Dans quels cas ?

Cette formulation est légèrement floue.
Sont-ce des points que vous connaissez et vous cherchez une expression mathématique qui permet de les retrouver ou bien posez-vous la question en toute généralité, sans préciser de quel ensemble de points dont il s'agit ?

[jacknicklaus]

Pour un ensemble quelconque de points sur ce repère, existe-t-il une fonction ou équation équivalente ?

je suppose que tu veux dire "existe t-il une fonction dont la courbe passe par un ensemble de points donné" ?
c'est une question connue sous le nom de fonction d'interpolation (https://fr.wikipedia.org/wiki/Interp...num%C3%A9rique) ou encore approximation de fonction.

[gg0]

Bonjour.

Pour un nombre fini de points, il y a une méthode simple :
* Pour un point M(a, b), équation (x-a)²+(y-b)² = 0
* Pour deux points M(a, b), N(c,d), équation ((x-a)²+(y-b)²) ((x-c)²+(y-d)²) = 0
* etc

Pour un ensemble infini de points, il peut exister des expressions qui donnent l'équation de l'ensemble, mais ce ne sont que des cas particuliers (*). Je te laisse voir quel ensemble infini de points a pour équation (x-E(x))²+(y-E(y))²=0 où E est la fonction "partie entière".

Cordialement.

(*) il y a un nombre infini dénombrable d'expressions qu'on peut écrire, et une infinité non dénombrable d'ensembles de points, et même de types d'ensembles de points.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jall2]

"et je me pose la question suivante - j'espère l'avoir formulée dans le respect de la rigueur mathématique"

Raté, la question est très mal posée

Supposons qu'il y ait un nombre fini n de points et qu'ils aient tous des abscisses différentes.
Dans ce cas il existe un polynôme de degré au plus n-1 qui passe par tous les points, le polynôme d'interpolation de Lagrange
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interp...n_lagrangienne

[gg0]

Attendons que Batlaisan vienne préciser sa question. Il est remarquablement absent .

[batlaizan]

Je vous présente mes excuses pour cette longue période de gestation ; il semble que mon navigateur avait des problèmes pour se connecter au forum, après quoi j'ai laissé tombé l'affaire jusqu'à aujourd'hui...

Pour le moment c'est gg0 qui a apporté une grande part de la réponse à la question que je me posais.

Elle serait mal formulée... j'ai pourtant fait selon mes souvenirs de lycée dans lesquels j'étais plutôt brillant. Mais dans ce cas pourquoi ne pas la reformuler correctement si c'est à votre portée, pour aider tout le monde (jall2).
Ma mémoire m'a fait défaut, la bonne formulation était "pour tout ensemble de points" signifiant que je souhaite répondre à la question pour l'ensemble de tous les cas possibles quels qu'ils soient. Je pose la question en toute généralité (albanxiii).

Non, je ne cherche pas une fonction dont la courbe "passe par" un ensemble de points donnés (jacknicklaus), mais bien une fonction équivalente c'est-à-dire dont la courbe passe par tous ces points et seulement ces points.

Je reprends ces explications de gg0 qui répondent à la question que je me posais (reste encore pour moi à les élucider de leur langage mathématique) :

Pour un nombre fini de points, il y a une méthode simple :
* Pour un point M(a, b), équation (x-a)²+(y-b)² = 0
* Pour deux points M(a, b), N(c,d), équation ((x-a)²+(y-b)²) ((x-c)²+(y-d)²) = 0
* etc

Pour un ensemble infini de points, il peut exister des expressions qui donnent l'équation de l'ensemble, mais ce ne sont que des cas particuliers (*). Je te laisse voir quel ensemble infini de points a pour équation (x-E(x))²+(y-E(y))²=0 où E est la fonction "partie entière".

(*) il y a un nombre infini dénombrable d'expressions qu'on peut écrire, et une infinité non dénombrable d'ensembles de points, et même de types d'ensembles de points.

Ce qui serait, il me semble, intéressant du point de vue de la recherche, c'est de déterminer pour quels ensembles de points ou types d'ensembles de points il peut exister une fonction qui donne l'équation de l'ensemble, et pour quels ensembles de points ou types d'ensembles de points il ne peut pas en exister.

Merci à tous !

[gg0]

C'est bien gentil de poser des questions très générales, mais encore faudrait-il prendre le temps de revoir ou apprendre les notions élémentaires du lycée qui suffisent très largement à comprendre ma proposition. Car ne pas faire ça et dire "Ce qui serait, il me semble, intéressant du point de vue de la recherche, c'est de déterminer pour quels ensembles de points ou types d'ensembles de points il peut exister une fonction qui donne l'équation de l'ensemble" c'est du même niveau que celui qui gueule "faignant" à un footballeur d'un match international depuis son canapé, sa bière à la main.
Pour ta phrase en italique, si recherche veut dire la recherche en math, tu te trompes, telle qu'elle est formulée, la réponse est connue depuis qu'on a défini la notion générale de fonction : Tout ensemble de points tels qu'il existe un repère dans lequel il y a au plus un point pour une abscisse donnée. Et elle est à la portée d'un bachelier scientifique. Donc ce serait intéressant pour ta recherche personnelle.
J'ai pris la notion de fonction dans un sens restreint, celui que tu utilisais dans tes classes de lycée. Pour une équation de la forme f(x,y)=0 de l'ensemble E, il existe d'ailleurs une réponse évidente : On prend la fonction de RxR dans R définie par f(x,y)=0 si (x,y) est dans E et f(x,y)=1 si (x,y) n'est pas dans E (fonction caractéristique de E). Ce qui est très utilisé d'un point de vue théorique.
Donc le problème est résolu dans deux significations possibles.
Tu peux continuer à creuser ton "problème" avec certains ensembles qui t'intéressent, mais plutôt que de conseiller les mathématiciens qui ont autre chose à faire que ça, tu devrais essayer de reprendre un bon niveau en maths élémentaires, qui te permettrait déjà de poser des questions pertinentes.

Cordialement.