Bonjour j'ai cet exercice à rendre en spé maths en arithmétique et je suis complètement bloqué. Pourriez-vous m'aider svp?
1) On considère les entiers naturels a(0), a(1), ..., a(n-1), a(n) avec a(n) ≠ 0. Soit (E) l'équation a(n)x^(n) + a(n-1)x^(n-1) +...+ a(1)x + a(0)=0. On suppose que (E) admet une solution rationnel : p/q avec p et q des entiers relatifs premiers entre eux. Démontrer alors que p divise a(0) et que q divise a(n).
(Les données entre paranthèses c'est parce que c'est en indice, comme pour a avec n entre paranthèses qui correspond donc à n en indice en bas du a)
2) En utilisant 1) déterminer si les équations suivantes admettent des solutions rationnelles, puis résoure l'équation dans Q lorqu'elle en admet.
a) 3x^3 - 2x^2 -6x+4=0
b) 2x^3 -6x^2 +11x-33=0
c) 3x^5 +x^4 -14x^3 -3x^2 -5x-10=0
Pour la question 1, j'ai rempacé les x par p/q et puis j'ai multiplié l'équation obtenue par q^n mais après je suis bloqué. Cela m'a donné a(n)p^n + a(n-1)p^(n-1)q +...+ a(1)pq^(n-1)+a(0)q^n=0
Pour la question 2) a), j'avais commencé à trouver que p pouvait être égal à 1 ou 2 ou 3 ou 4 et q égal à 1 ou 2 ou 3 et après pareil je suis bloquée.
Si vous avez une idée de comment je pourrez résoudre cet exercice, je suis preneur.
Merci d'avance.
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