Montrer que Vn =aUn+1^2 -aUn

[ASSEKO NOAH]

Bonjour je suis nouveau sur le site et j'ai un exercice qui est trop dur pour moi

Soit (un)une suite arithmétique et a un nombre réel.
Montrerque la suite définie par:
∀n≥0,Vn= aUn+1² - aUn²
est arithmétique et préciser la raison.
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[gg0]

Bonjour.

Si on lit cet énoncé sous la forme
V_n = au_{n+1}^2 - au_n^2
c'est faux. par exemple pour Un=2n+5 (arithmétique de raison 2) et a=1, Vn = 4n²+26n+44 qui n'est pas une suite arithmétique.
Faut-il le lire
V_n = au_{(n+1)^2} - au_{n^2} ?

Cordialement.

Du bon usage des parenthèses : aUn+1²=aUn + 1 puisque 1²=1

[ASSEKO NOAH]

Excusez moi l'énoncé c'est
Montrer que ∀n≥0, Vn= aU_n+1² - aU_n² est arithmétique et préciser la raison
Cordialement

[ASSEKO NOAH]

La raison c'est pas 5?

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Bonjour,

non c'est pas 5.

Il suffit de donner la forme générale d'une suite arithmétique. U_n = ???
Tu l'as vu en cours, donc pas de problème.

puis tu remplaces U_n et U_n+1 par leur expression en fonction de n.
Tu calcules, il y a des simplifications, et tu arrives au résultat. Où bloques tu au juste ?

Il y a une autre méthode qui nécessite un petit peu moins de calculs, c'est de voir que aU_n+1² - aU_n² = a(U_n+1 - U_n)(U_n+1 + U_n)

[gg0]

Non, ça n'est pas 5. 5 est la valeur initiale de la suite u : 5,7,9,11,....

En supposant donc que le carré porte sur les indices (n+1) et n (*) et donc que la formule est

ton travail est simple : Tu définis l'écriture de ta suite U_n par sa formule générale (voir cours), tu en déduis l'écriture en fonction de n de U_n² et de U_(n+1)² puis de V_n et tu conclus.

Bon travail !

NB : C'est peut-être un exercice trop difficile pour quelqu'un qui n'a pas su reconnaître la raison de la suite U données par U_n = 2n+5.

(*) Mais c'est quand même un peu fort que tu n'aies pas été capable de mettre la parenthèse autour du n+1 alors que je t'ai dit que ce que tu écris c'est n plus le carré de 1, pas le carré de n+1

[gg0]

En guise d'exercice préliminaire, tu pourrais peut-être prendre la suite U que j'ai proposés (2n+5) et calculer les premiers termes de la suite V.

[ASSEKO NOAH]

Merci beaucoup grâce à ça j'ai éssayé de calculer V_(n+1)

V⁽ⁿ⁺¹⁾= a( U_(n+2)+U_(n+1))(U_(n+2)-U_(n+1))

Et de ça comme U est arithmétique j'ai posé que U_(n+2)= U_(n+1)+r. [en supposant que r est la raison de la suite U)
J'ai fais pareil aussi pour U_(n+1)= Uⁿ+r

Et j'ai trouvé à la fin
V_(n+1)=aU_(n+1)² -aU_n² + 2ar² donc la raison de Vn c'est 2ar² ?

Cordialement

[gg0]

Heu ... Jacknicklaus,

la suite n'est pas arithmétique si l'est. Si et .

Cordialement.

[gg0]

Asseko Noah,

le calcul de Jackniklaus ne correspond pas à ton énoncé. je ne sais pas ce que tu as fait, mais ça n'est pas ça.
As-tu essayé de voir ce que ça donne pour un=2n+5 ?

[gg0]

Ne pas tenir compte de mes deux messages précédents (et d'une partie du message #2) : Avec V(n)=(U(n+1))²-(U(n))² tout va bien !

Désolé !

[jacknicklaus]

Pas de souci gg0. Tout est dans l'interprétation de l'expression initiale qui n’est pas claire du fait du manque de parenthèses.

L'exercice se résout sans aucun calcul avec :

aU_n+1² - aU_n² = a(U_n+1 - U_n)(U_n+1 + U_n)
et en remarquant :
la somme de 2 suites arithmétique est une suite arithmétique
la différence de 2 termes successifs d'une suite arithmétique est la raison de cette suite
le produit d'une suite arithmétique par une constante est encore une suite arithmétique

[gg0]

Et ça marche aussi avec l'autre interprétation...

[ASSEKO NOAH]

Bonsoir désolé mais je me demande si il n'y a pas de domaine de définition à poser avant tout cela?

[jacknicklaus]

Un domaine de définition d'une suite arithmétique ??


Mais qu'est ce qui pourrait bien empêcher d'écrire U_n = a.n + b ??

[ASSEKO NOAH]

Oups je suis trop habitué au fonctions

Mais si Vn est arithmétique alors on peut dire que V_(n+1)= V_n + cste

Mais si moi je trouve que cste=2ar² avec a le nombre réel et r la raison de la suite U je dois déterminer r?

[ansset]

Mais si moi je trouve que cste=2ar² avec a le nombre réel et r la raison de la suite U je dois déterminer r?

non, pourquoi ?
et c'est vrai pour tout r , même s'il est nul .