Problème : suite arithmétique, géométrique ou autre... ?

[NightCall]

Bonjour,

Je lis un livre sur les mathématiques de Manu Houdart nommé "Very Math Tr!p". Dans un chapitre, il parle de la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire en fonction du nombre de personnes présentes. Pour cela, il parle du nombre de tentatives (dans le sens où, lorsqu'il y a 3 personnes, il y a 3 tentatives d'avoir le même anniversaire entre ces 3 personnes, pour 4 c'est 6 etc...)

Récapitulatif des valeurs :
Nb personnes : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... cela correspond au n.
Nb tentatives : 0 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 ... cela correspond à ma valeur Wn.

Je ne suis pas très bon en maths, mais pour moi on a la suite (déjà, je ne sais pas si on peut nommer ça une suite) suivante : Wn+1 = Wn + (n-1) : exemple avec n = 10, on aurait : W11 = 45 + 10 = 55.

Première question : comment appelle-t-on ce genre de suite (si cela en est une, et sinon, donnons-nous un nom à cela ?) car pour mois ce n'est pas une suite arithmétique, ni géométrique car n varie.

Deuxième question : on voit que, selon mon équation (si elle est juste) qu'on ne peut pas avoir directement Wn+1, car il faut avoir Wn. Existe-t-il un moyen d'avoir la valeur directement pour un n donné ?

Ca doit sûrement être connu, mais je connais pas^^.

Merci à vous !
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[jacknicklaus]

ton Wn correspond au nombre de combinaisons de 2 éléments parmi n.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Combin...C3%A9matiques)

[NightCall]

Merci pour cette réponse !

[NightCall]

J'ai regardé les combinaisons et je ne vois tout de même pas comment trouver la réponse à cette question... Cependant, avec la réponse que vous m'avez donné, j'ai pu comparer à des développements que j'avais effectués.

Je suis parti d'un cas concret : W5 = 5-1 + 5-2 + 5-3 + 5-4 . J'ai donc 5*4 - Somme de i=1 à n-1 de i = 20 - 10 = 10.

En généralisant, j'obtiens : n*(n-1) - Somme de i=1 à n-1 de i. En réalité, somme de i=1 à n-1 de i revient à soustraire la moitié du résultat (donc de diviser par 2). Soit (n*(n-1))/2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Je suis parti d'un cas concret : W5 = 5-1 + 5-2 + 5-3 + 5-4 . J'ai donc 5*4 - Somme de i=1 à n-1 de i = 20 - 10 = 10.

En généralisant, j'obtiens : n*(n-1) - Somme de i=1 à n-1 de i. En réalité, somme de i=1 à n-1 de i revient à soustraire la moitié du résultat (donc de diviser par 2). Soit (n*(n-1))/2.

C'est clair comme du jus de goudron

[gg0]

Heu ... (5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4) = 4 + 3 + 2 + 1 = 1 + 2 + 3 +4
Pourquoi écrire de façon compliquée ?

En tout cas, tu embrouilles la situation dans tes "explications". mais si toi,k tu y comprends quelque chose, c'est bien pour toi. Cependant, il est inutile de venir exposer sur un forum des phrases et calculs "en fouillis"; si tu ne fais pas l'effort de communiquer, de chercher à être compris, tu te feras moquer. Or c'est ce que tu fais depuis le début (je n'ai même pas compris de quoi tu veux parler, je n'ai pas ton bouquin - et pourtant jez connais le paradoxe des anniversaires depuis 50 ans).
Et parfois, essayer d'expliquer clairement les choses permet immédiatement de tout comprendre : On ne comprenait pas parce qu'on ne mettait pas les bons mots sur les situations.

Cordialement.

[NightCall]

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[NightCall]

gg0 : de ton point de vue, on dirait que j'ai volontairement fait en sorte de mal expliquer. Tu dis que je ne fais pas d'"effort de communication", alors que tu as compris que je parlais du paradoxe des anniversaires (de plus jacknicklaus, m'avais également fourni un élément de réponse. Visiblement vous êtes deux à avoir compris de quoi je parle). En ce qui concerne le second message, effectivement, j'ai sûrement mal expliqué. Comme dis en introduction, j'ai des difficultés dans cette discipline.

Bref, je reprends...

J'ai le tableau suivant sous les yeux (pb d'indentation) :
n : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
t : 0 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 ...

Je cherche à trouver une formule qui me permette d'obtenir le résultat t pour un n donné. jacknicklaus m'a transmis la formule mathématique, en m'indiquant, que je devais regarder du côté des combinaisons (avec lien wikipédia). J'ai essayé de retrouver le résultat fourni en passant par là mais je n'arrive pas à déterminer k et n dans la formule. Une aide s'il vous plait ?

Merci à vous

[ansset]

bjr,
si je comprend tu cherches à retrouver le résultat de la somme des entiers de 1 à n-1.
elle vaut effectivement n(n-1)/2.
on peut la démontrer indépendamment de la formule de combinaisons , mais il s'avère que c'est aussi le nb de choix possibles d'une paire d'individu parmi n individus.
ce qui au final revient à ce que tu nommes "tentatives" ( puisque qu'on liste toutes les paires possibles ).

heuu ! en fait , je ne sais pas bien ce qui te manques.

[gg0]

Ça, j'avais compris. Ce que je n'ai pas compris, c'est le calcul que tu fais (que tu n'expliques pas) ni son lien avec le paradoxe des anniversaires (que tu ne donnes pas - tu le connais peut-être, mais je ne suis pas dans ta tête).

Ton nombre est le nombre de paires d'anniversaires entre 4 personnes, ces paires étant aussi appelées combinaisons de 2 dates. S'il y a 5 personnes, on fabrique toutes les paires en prenant pour chaque individu, sa date et toutes les dates des autres, ce qui fait n-1 paires : 1/2,1/3,1/4,1/5 pour l'individu 1. On fait n fois cela, on a n(n-1) paires, mais qui sont toutes en double (on a pris 1/2, mais aussi 2/1, qui donne le même ensemble de 2 dates). Donc il faut diviser par 2 ce produit n(n-1).

Cette méthode est appelée humoristiquement le "principe des bergers" (pour compter les moutons, on compte le nombre de pattes, puis on divise par 4).

Cordialement.

NB : Je n'ai pas dit que tu as "volontairement fait en sorte de mal expliquer", seulement que tu n'expliques pas !!

[ansset]

c'est à moi que tu réponds ?

[gg0]

Ah ! désolé Ansset, mais mon message répondait à Nightcall (la fin reprend ses mots).
Toi, je n'ai pas besoin de t'expliquer les coefficients binomiaux

Cordialement.

[jacknicklaus]

Je cherche à trouver une formule qui me permette d'obtenir le résultat t pour un n donné.

???
Mais, tu lis ce qu'on te répond, parfois ?

n = 1 ---> 1x0 / 2 = 0
n = 2 ---> 2x1 / 2 = 1
n = 3 ---> 3x2 / 2 = 3
n = 4 ---> 4x3 / 2 = 6
n = 5 ---> 5x4 / 2 = 10
... etc ...

[NightCall]

jacknicklaus : et toi tu as lu tout mon post ? Je cherche à comprendre la formule, pas à l'appliquer bêtement. Excuse-moi si la réponse me parait pas évidente.

A gg0 : Merci ! Ca me parait évident maintenant. Comme je n'avais jamais rencontré ce problème, j'essayais de trouver la solution tout seul en retournant le problème dans tous les sens. Je vais d'expliquer mon raisonnement du post #4.

Voilà, premièrement, partez du principe que j'avais uniquement le tableau sous les yeux et je me suis dis "Comment je peux calculer t en fonction de n ?". J'ai essayé de raisonner dans un premier temps : De quoi s'agit-il exactement, comment pourrais-je trouver une formule générale de manière subtile sans trop m'embêter mathématiquement... Malheureusement, c'est pas venu directement. Je n'ai pas "tilté" peut-être un manque de compréhension ? Je sais pas.

En retournant dans tous les sens, je trouve que Wn = Somme allant de i = 1 à n de n-i. Après avoir trouvé ça, j'ai tout de suite pris un cas concret pour tester et voir ce que ça me donne :

En suivant mon raisonnement, j'ai écris W5 de la manière suivante : W5 = (5-1) + (5-2) + (5-3) + (5-4) et oui, ça vaut : W5 = 4 + 3 + 2 + 1. Si je continu avec ma logique, j'obtiens :
W5 = 5*4 - somme allant de i = 1 à n-1 de i = 20 - 10 = 10. Je regarde le tableau : ok c'est bon.

J'ai fait pareil avec W4 et j'obtenais : 4*3 - somme allant de i = 1 à n-1 de i = 12 - 6 = 6 : ok c'est bon.

Constat : j'ai une forme n*(n-1) et j'en déduis (par effet visuel sur W5 et W4) qu'en réalité, la soustraction revient à diviser le résultat par 2. J'obtiens alors : Wn = (n*(n-1))/2. Puis j'ai testé sur des nombres aléatoires et ça a toujours fonctionné.

Maintenant que j'ai compris votre raisonnement, j'ai honte dans la manière dont j'ai trouvé le résultat. Je ne sais pas pourquoi, mais ça ne m'est pas paru évident sur le coup.

Si vous avez des retours sur ma "démarche" afin que la prochaine fois que je tombe sur un cas similaire, que j'évite de tourner en rond avec des solutions compliquées, je suis preneur !

[gg0]

Ok !

Là tu as expliqué complétement ta démarche. Elle n'était pas visible dans le message #4.

Comment éviter ça : tu as un ordinateur et tu sais lire; Jacknicklaus te donne le nom et même la référence sur Internet; par politesse, tu vas voir, ru lis et tu essaies de comprendre. Ta réponse au message #14 est rebutante et ne donne pas envie de répondre à de nouvelles questions. Tu devrais faire vraiment attention à ce que tu écris (Jacknicklaus t'a donné tout de suite une vraie réponse, tu n'en as rien fait !!!)
Il se trouve que d'autres calculs donnent aussi ce résultat. Le fait d'en trouver un est intéressant pour toi, mais est-ce que ça expliquait ce que tu lisais au départ (ton livre) ? J'en doute !

Cordialement.

[NightCall]

En post #8 j'ai écris : "jacknicklaus m'a transmis la formule mathématique, en m'indiquant, que je devais regarder du côté des combinaisons (avec lien wikipédia). J'ai essayé de retrouver le résultat fourni en passant par là mais je n'arrive pas à déterminer k et n dans la formule. Une aide s'il vous plait ?". J'ai lu et essayé de comprendre. Je n'avais pas saisi la formule avec les coefficients binomiaux. C'est suite à ton poste #10 que j'ai compris. A présent, tout est clair et je souhaite remercier tout le monde !