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Suite arithmétique et géometrique.



  1. #1
    crazy_nigg

    Suite arithmétique et géometrique.


    ------

    Bonjour tout le monde.
    Alors voilà je bloque sur l'avant dernier point du dernier exercice de mon DM de maths.
    Son ennocé est :

    Une suite (Vn) est définie par son premier terme V0, et par Vn+1=(1/2)Vn+4 , pour tout n de N

    donc on ne connais pas V0, on a juste conjecturé dans un point de l'exo que d'après la calculatrice si V0>8 alors Vn est décroissant et si V0<8 alors Vn est croissante.

    3) Soit la suite (Wn) définie pour tout entier naturel n par Wn=Vn-8
    a) Montrer que (Wn) est une suite géometrique dont on précisera la raison.

    Je l'ai démontré en calculant la raison qui est 2 par la formule [W(n+1)]/(Wn) mais quand je vérifie sur le tableau de ma calculatrice la raison de cette suite n'est pas constante, j'ai du mal la rentrer car je ne sais pas vraiment quoi mettre comme terme initial (Vmin et Wmin sur ma ti-95)
    b) En déduire une expression de Wn, puis de Vn en fonction de n.
    Je n'arrive pas a determiner Wn parceque je ne connais pas W0 et Vn non plus.

    Tout aide sera la bienvenue, même de simples pistes.
    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Plume d'Oeuf

    Re : Suite arithmetique et géometrique.

    Bonjour, bienvenue sur le forum!

    La raison que tu trouves est fausse. Calcules la plutôt de la manière la plus simple qui soit: en calculant Wn+1, et en montrant que Wn+1 = kWn où k est un réel.

    Bon courage.

  4. #3
    pallas

    Re : Suite arithmetique et géometrique.

    Calcule w(n++1) en fonction de v(n+1) et remplace ce dernier terme à l'aide de v(n) et ce dernernier en faisant intervenir w(n) et cela tombe de suite

  5. #4
    crazy_nigg

    Re : Suite arithmétique et géometrique.

    C'est ce que j'ai fait :
    Si la suite Wn est géometrique alors W(n+1) = (Wn)q
    avec q réel constant
    Donc si Wn est arithmetique alors W(n+1)/Wn = constante q

    On connait Wn=Vn-8
    Et on sait que Vn+1=(1/2)Vn+4=Vn/2 +4

    W(n+1)/Wn
    = [V(n+1)-8]/(Vn-8)
    = [(Vn/2+4)-8]/(Vn-8)
    = [(Vn+8)/2 -8]/(Vn-8)
    = [(Vn+8-16)/2]/(Vn-8)
    =[(Vn-8)/2]/(Vn-8)
    =2/(Vn-8) * (Vn-8)
    =[2(Vn-8)]/(Vn-8)
    =2


    Le quotient de deux termes conscécutifs de cette suite étant constant pour tout n on peut donc en conclure que cette suite est géometrique et de raison 2.

    J'ai du soit faire une faute dans mon calcul soit mal rentrer la suite dans ma calculatrice.
    Mais j'ai surtout besoin d'aide pour la suite.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Plume d'Oeuf

    Re : Suite arithmétique et géometrique.

    Citation Envoyé par crazy_nigg Voir le message
    =[(Vn-8)/2]/(Vn-8)
    =2/(Vn-8) * (Vn-8)
    Il y a un problème entre ces deux lignes.

    Bon courage!

  8. #6
    crazy_nigg

    Re : Suite arithmétique et géometrique.

    Citation Envoyé par Plume d'Oeuf Voir le message
    Il y a un problème entre ces deux lignes.

    Bon courage!
    Ah oui effectivement, merci de me l'avoir fait constater j'ai mal inversé :
    [ (Vn-8)/2 ]/(Vn-8) = [(Vn-8)/2]/[(Vn-8)/1] = [(Vn-8)/2]*[1/(Vn-8)] = (Vn-8)/2(Vn-8) = 1/2

    C'est la raison de la suite Wn.
    Dernière modification par crazy_nigg ; 26/04/2010 à 21h55.

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  10. #7
    Plume d'Oeuf

    Re : Suite arithmétique et géometrique.

    C'est effectivement la raison de ta suite. Mais cette méthode implique que tu saches d'avance que ta suite est géométrique, autrement le résultat que tu obtiens est affreux.

    Tu pouvais aussi y arriver de cette façon:
    Wn = Vn-8

    Donc:
    Wn+1 = Vn+1-8

    Wn+1 = Vn/2 + 4 - 8 = Vn/2 - 4 = (Vn-8)/2 = Wn/2

    Les deux méthodes sont justes; celle que je te propose est simplement plus "générale" car on n'émet aucune hypothèse sur la nature de la suite. De cette façon si la suite était arithmétique on l'aurait aussi remarqué tout de suite, alors qu'en calculant Wn+1/Wn on n'aurait rien vu.

    b) Pour cette question, tu connais W0 puisqu'on te dit que le premier terme de Vn est V0. Autrement dit c'est une constante qu'on ne te donne pas mais qu'on suppose connue; il va falloir exprimer ton résultat en fonction de V0. Tu dois savoir écrire Wn en fonction de n puisque c'est une suite géométrique; il n'y a plus de problème.

    Bon courage!

  11. #8
    nono212

    Re : Suite arithmétique et géometrique.

    Citation Envoyé par Plume d'Oeuf Voir le message
    C'est effectivement la raison de ta suite. Mais cette méthode implique que tu saches d'avance que ta suite est géométrique, autrement le résultat que tu obtiens est affreux.
    a) Montrer que (Wn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    Il me semble que ça veut tout dire : si l'énoncé demande de montrer que (Wn) est géométrique, c'est qu'elle est. Donc aucune hypothèse qui peut amener à un mauvais résultat.
    Après, montrer que , c'est obligatoirement montrer que cette suite est géométrique (de part sa définition).

  12. #9
    Plume d'Oeuf

    Re : Suite arithmétique et géometrique.

    Je suis conscient que si l'énoncé précise de montrer que la suite est géométrique, c'est qu'elle l'est. Simplement beaucoup d'énoncés demandent de "préciser la nature d'une suite", plutôt que de "démontrer qu'elle est géométrique/arithmétique".

    Auquel cas la méthode que j'ai exposée est généralement plus adéquate. J'ai cependant précisé dans mon message #7 que les deux façons de faire (calculer Wn+1/Wn ou calculer Wn+1 et l'exprimer en fonction de Wn) étaient correctes dans le cadre de cet exercice.

    Bonne continuation.

  13. #10
    crazy_nigg

    Re : Suite arithmétique et géometrique.

    Ok merci plume d'oeuf
    En fait j'ai demandé a ma prof comme le Dm est pour vendredi et elle nous a dit qu'il fallait definir Wn en fonction de n et V0 comme pour Vn d'ailleurs.

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