Suite arithmétique et géometrique.

[invitee4a421dc]

Bonjour tout le monde.
Alors voilà je bloque sur l'avant dernier point du dernier exercice de mon DM de maths.
Son ennocé est :

Une suite (Vn) est définie par son premier terme V0, et par Vn+1=(1/2)Vn+4 , pour tout n de N

donc on ne connais pas V0, on a juste conjecturé dans un point de l'exo que d'après la calculatrice si V0>8 alors Vn est décroissant et si V0<8 alors Vn est croissante.

3) Soit la suite (Wn) définie pour tout entier naturel n par Wn=Vn-8
a) Montrer que (Wn) est une suite géometrique dont on précisera la raison.
Je l'ai démontré en calculant la raison qui est 2 par la formule [W(n+1)]/(Wn) mais quand je vérifie sur le tableau de ma calculatrice la raison de cette suite n'est pas constante, j'ai du mal la rentrer car je ne sais pas vraiment quoi mettre comme terme initial (Vmin et Wmin sur ma ti-95)
b) En déduire une expression de Wn, puis de Vn en fonction de n.
Je n'arrive pas a determiner Wn parceque je ne connais pas W0 et Vn non plus.

Tout aide sera la bienvenue, même de simples pistes.
Merci d'avance.
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[invitee4ef379f]

Bonjour, bienvenue sur le forum!

La raison que tu trouves est fausse. Calcules la plutôt de la manière la plus simple qui soit: en calculant W_n+1, et en montrant que W_n+1 = kW_n où k est un réel.

Bon courage.

[pallas]

Calcule w(n++1) en fonction de v(n+1) et remplace ce dernier terme à l'aide de v(n) et ce dernernier en faisant intervenir w(n) et cela tombe de suite

[invitee4a421dc]

C'est ce que j'ai fait :
Si la suite Wn est géometrique alors W(n+1) = (Wn)q
avec q réel constant
Donc si Wn est arithmetique alors W(n+1)/Wn = constante q

On connait Wn=Vn-8
Et on sait que Vn+1=(1/2)Vn+4=Vn/2 +4

W(n+1)/Wn
= [V(n+1)-8]/(Vn-8)
= [(Vn/2+4)-8]/(Vn-8)
= [(Vn+8)/2 -8]/(Vn-8)
= [(Vn+8-16)/2]/(Vn-8)
=[(Vn-8)/2]/(Vn-8)
=2/(Vn-8) * (Vn-8)
=[2(Vn-8)]/(Vn-8)
=2

Le quotient de deux termes conscécutifs de cette suite étant constant pour tout n on peut donc en conclure que cette suite est géometrique et de raison 2.

J'ai du soit faire une faute dans mon calcul soit mal rentrer la suite dans ma calculatrice.
Mais j'ai surtout besoin d'aide pour la suite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

=[(Vn-8)/2]/(Vn-8)
=2/(Vn-8) * (Vn-8)

Il y a un problème entre ces deux lignes.

Bon courage!

[invitee4a421dc]

Il y a un problème entre ces deux lignes.

Bon courage!

Ah oui effectivement, merci de me l'avoir fait constater j'ai mal inversé :
[ (Vn-8)/2 ]/(Vn-8) = [(Vn-8)/2]/[(Vn-8)/1] = [(Vn-8)/2]*[1/(Vn-8)] = (Vn-8)/2(Vn-8) = 1/2

C'est la raison de la suite Wn.

[invitee4ef379f]

C'est effectivement la raison de ta suite. Mais cette méthode implique que tu saches d'avance que ta suite est géométrique, autrement le résultat que tu obtiens est affreux.

Tu pouvais aussi y arriver de cette façon:
W_n = V_n-8

Donc:
W_n+1 = V_n+1-8

W_n+1 = V_n/2 + 4 - 8 = V_n/2 - 4 = (V_n-8)/2 = W_n/2

Les deux méthodes sont justes; celle que je te propose est simplement plus "générale" car on n'émet aucune hypothèse sur la nature de la suite. De cette façon si la suite était arithmétique on l'aurait aussi remarqué tout de suite, alors qu'en calculant W_n+1/W_n on n'aurait rien vu.

b) Pour cette question, tu connais W₀ puisqu'on te dit que le premier terme de V_n est V₀. Autrement dit c'est une constante qu'on ne te donne pas mais qu'on suppose connue; il va falloir exprimer ton résultat en fonction de V₀. Tu dois savoir écrire W_n en fonction de n puisque c'est une suite géométrique; il n'y a plus de problème.

Bon courage!

[invite70b6ef65]

C'est effectivement la raison de ta suite. Mais cette méthode implique que tu saches d'avance que ta suite est géométrique, autrement le résultat que tu obtiens est affreux.

a) Montrer que (Wn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Il me semble que ça veut tout dire : si l'énoncé demande de montrer que (Wn) est géométrique, c'est qu'elle est. Donc aucune hypothèse qui peut amener à un mauvais résultat.
Après, montrer que , c'est obligatoirement montrer que cette suite est géométrique (de part sa définition).

[invitee4ef379f]

Je suis conscient que si l'énoncé précise de montrer que la suite est géométrique, c'est qu'elle l'est. Simplement beaucoup d'énoncés demandent de "préciser la nature d'une suite", plutôt que de "démontrer qu'elle est géométrique/arithmétique".

Auquel cas la méthode que j'ai exposée est généralement plus adéquate. J'ai cependant précisé dans mon message #7 que les deux façons de faire (calculer W_n+1/W_n ou calculer W_n+1 et l'exprimer en fonction de W_n) étaient correctes dans le cadre de cet exercice.

Bonne continuation.

[invitee4a421dc]

Ok merci plume d'oeuf
En fait j'ai demandé a ma prof comme le Dm est pour vendredi et elle nous a dit qu'il fallait definir Wn en fonction de n et V0 comme pour Vn d'ailleurs.