Fonctions telles que : f(a)+f(b)=f(a+b)

[invite2b14cd41]

Salut, j'essaie de résoudre l'exo suivant, et je rencontre qques difficultés:
Soit a et b deux réels quelconques. Trouver toutes les fonctions définies sur R vérifiant l'égalité : f(a)+f(b)=f(a+b)

Ma tentative:
1) 3 solutions évidentes f(x)=0 , f(x)=x et f(x)=-x , donc il existe au moins 3 fonctions solutions.

2) En prenant b=-a , on trouve : f(a)+f(-a)=f(0)

3) Si a=b=0: f(0)+f(0)=f(0) <=> f(0)=0 ; donc d'après 2, et comme f est définie sur R (centrée en 0) , f est donc impaire.

4) On dérive membre à membre (et c'est là le problème car rien ne me prouve que f est dérivable) l'égalité suivante:
f(x)+f(a)=f(x+a) , avec a réel, ce qui donne:
f'(x)=f'(x+a) , comme a peut prendre n'importe quelle valeur, donc f' est constante.
f'(x)=cte => f(x)=ax+b , or f(0)=0 , donc f(x)=ax (fonction linéaire)
On vérifie que toute les fonctions linéaires sont bien toutes solutions.

Mon raisonnement est-il correct ? Qu'en est-il des fonctions non dérivables mais définies sur R ?
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[invite90942d5b]

Ton raisonnement est correct, mais ta deuxième question a l'air beaucoup plus tendue pour moi.
J'aurais peut être utilisé si a=b, 2f(a)=f(2a)... Mais je ne suis pas sur que ça prouve grand chose à ce niveau là.

[invite5150dbce]

Moi j'ai réussi à prouver par récurrence que pour tout entier naturel n et par symétrie sur Z, pour tout entier relatif n, f(nx)=nf(x)
Donc en posant f(1)=a, on a f(n)=an pour tout entier relatif n
Cela ne prouve pas ta formule sur IR mais il y a peut-être un autre moyen pour s'en sortir

[invite51d17075]

ton raisonnement est très bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

je precise,
tu peux même demontrer que f est dérivable
f(x+dx)=f(x)+f(dx)
or
f'x)=lim(f(x+dx)-f(x))/dx = lim(f(dx)/dx) quand x tend ->0
et ce quel que soit x
donc soit
a)la lim f(0)/0 n'est pas definie et f ne serait dérivable "nulle part" sur R.
b)ou bien f est dérivable partout.

[invite5150dbce]

je precise,
tu peux même demontrer que f est dérivable
f(x+dx)=f(x)+f(dx)
or
f'x)=lim(f(x+dx)-f(x))/dx = lim(f(dx)/dx) quand x tend ->0
et ce quel que soit x
donc soit
a)la lim f(0)/0 n'est pas definie et f ne serait dérivable "nulle part" sur R.
b)ou bien f est dérivable partout.

il en est de même pour la continuité, soit la fonction est continue nulle part soit elle est continue partout

[invite2b14cd41]

je precise,
tu peux même demontrer que f est dérivable
f(x+dx)=f(x)+f(dx)
or
f'x)=lim(f(x+dx)-f(x))/dx = lim(f(dx)/dx) quand x tend ->0
et ce quel que soit x
donc soit
a)la lim f(0)/0 n'est pas definie et f ne serait dérivable "nulle part" sur R.
b)ou bien f est dérivable partout.

Merci, cependant, je n'ai pas compris pourquoi x->0 ; ne serait-ce pas plutot dx->0 ? (bien que cela ne change pas grand chose sur le résultat final)
Donc , il se pourrait qu'il existe des solutions dérivables "nulle part" sur R qui soient cependant solutions ...

[invite51d17075]

Merci, cependant, je n'ai pas compris pourquoi x->0 ; ne serait-ce pas plutot dx->0 ? (bien que cela ne change pas grand chose sur le résultat final)
Donc , il se pourrait qu'il existe des solutions dérivables "nulle part" sur R qui soient cependant solutions ...

pardon pour la faute de frappe, c'était bien dx->0,
et si ça change, parceque du coup c'est bien quelque soit x.

maintenant une fonction non continue partout et non derivable partout et qui satisfasse f(a+b)=f(a)+f(b) , j'aimerai bien la rencontrer.

[invite51d17075]

non j'ai dit une betise.

f(x+dx)=f(x)+f(dx)
lim de f(dx)=0 quand dx =0
donc f est continue partout

et une fonction f continue partout ne peut pas être dérivable "nulle part"

pardon pour cette correction

[invite5150dbce]

En gros soit f est dérivable partout et f(x)=ax pour tout réel x
Soit f est continue partout et dérivable nul part
Soit f est continue nul part

Dans les 2 derniers cas, il est difficile de démontrer quoi que ce soit.
La continuité et la dérivabilité posent p^roblème à cause des nombres trancendants

[invite5150dbce]

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...elle_de_Cauchy

La question de la dérivabilité semble être résolue mais celle de la continuité ne peut pas être ignorée

[invite25cbd5d2]

non j'ai dit une betise.

f(x+dx)=f(x)+f(dx)
lim de f(dx)=0 quand dx =0
donc f est continue partout

Tu utilise que f(x) est continue pour démontrer qu'elle est continue
Quand dx-->0 ===> f(dx)-->0 si f(x) est continu en 0 or ce n'est pas donnée par hypothèse.

et une fonction f continue partout ne peut pas être dérivable "nulle part"

Pourtant cela existe
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...d%C3%A9rivable

[invite5150dbce]

Pertinente remarque Lelouch mais de toute façon, si la continuité est vérifiée en un point, le cas est traité par l'adresse que j'ai donné plus haut

[invitee4ef379f]

Bonjour,

f(x+dx)=f(x)+f(dx)
lim de f(dx)=0 quand dx =0
donc f est continue partout

En quoi cela montre que la fonction est continue plutôt que dérivable? Si la limite du taux d'accroissement est finie, alors la fonction est dérivable, non?

Quand dx-->0 ===> f(dx)-->0 si f(x) est continu en 0 or ce n'est pas donnée par hypothèse.

En effet pour pouvoir calculer cette limite, il faut supposer que la fonction est continue sur [-; ], avec > 0, et donc sur R (lien de hhh86).

[invite51d17075]

En quoi cela montre que la fonction est continue plutôt que dérivable? Si la limite du taux d'accroissement est finie, alors la fonction est dérivable, non?

nan ,ça c'etait pour la continuité, la derivibalité, j'en avais parlé avant

[invite51d17075]

Tu utilise que f(x) est continue pour démontrer qu'elle est continue
Quand dx-->0 ===> f(dx)-->0 si f(x) est continu en 0 or ce n'est pas donnée par hypothèse.

Pourtant cela existe
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...d%C3%A9rivable

pas exactement :
soit elle est continue partout, soit nul part.
or elle est bien continue en zero donc elle l'est partout !!!
m'enfin

[invite25cbd5d2]

soit elle est continue partout, soit nul part.

C'est vrai

or elle est bien continue en zero donc elle l'est partout !!!

Qui te l'a dis ? La continuité en 0 ne figure pas dans l'hypothèse.
Mais par contre on peut dire :
Si cette fonction est continu en 0 elle est de la forme ....

[invite51d17075]

bon , puisque vous m'embetez un peu les matheux, par plaisir

je propose autre chose pisque c'est comme ça, et sans dérivation, ni continuité.
f(px)=pf(x) pour tout p entier et f(0)=0
en effet f(x+x+...x) =somme des f(x)
de même
f(x/q) = f(x)/q pour tout q entier
car si y=x/q
f(qy)=qf(y) donc f(y)=f(qy)/q
donc
f(x/q)=f(x)/q

on en deduit que pour tout rationnel r
f(rx)=r*f(x).

donc f(r)=r*f(1)

on a déjà avancé mais sur les rationnels uniquement

passons aux réels:
x réel peut s'écrire comme
x = sigma(k:0->00)(r(k)) soit une somme de rationnels ( infinie ou pas )

on en vient directement à
f(x)= x*f(1)

vous arretez de m'embeter maintenant ?

[invite2b14cd41]

non j'ai dit une betise.

f(x+dx)=f(x)+f(dx)
lim de f(dx)=0 quand dx =0
donc f est continue partout

et une fonction f continue partout ne peut pas être dérivable "nulle part"

pardon pour cette correction

Cela prouve donc que f est bien continue sur R. Cependant, en adoptant le même raisonnement pour la dérivabilité, on aura : (h=dx)

lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h = lim h->0 (f(x)-f(x)+f(h))/h =lim h->0 f(h)/h = f(0)/0 = 0/0 ; forme indéterminée.

Donc, jusqu'à preuve du contraire, f pourrait être continue sur R , mais non dérivable , du moins en quelques points. Mais une telle fonction non dérivable vérifiant les conditions de l'hypothèse existe-t-elle vraiment ?

[invite2b14cd41]

passons aux réels:
x réel peut s'écrire comme
x = sigma(k:0->00)(r(k)) soit une somme de rationnels ( infinie ou pas )

on en vient directement à
f(x)= x*f(1)

vous arretez de m'embeter maintenant ?

C'est juste cette étape que je n'ai pas comprise , sinon tout va bien, effectivement ...
Merci

Autre question qui n'a pas vraiment de rapport avec cet exo :
Peut-on calculer la dérivée de la fonction nulle : f(x)=0 , en 0 ?

[invite1e1a1a86]

je propose autre chose pisque c'est comme ça, et sans dérivation, ni continuité.
x réel peut s'écrire comme
x = sigma(k:0->00)(r(k)) soit une somme de rationnels ( infinie ou pas )

on en vient directement à
f(x)= x*f(1)

sans la continuité ici, c'est faux

[invite5150dbce]

Autre question qui n'a pas vraiment de rapport avec cet exo :
Peut-on calculer la dérivée de la fonction nulle : f(x)=0 , en 0 ?

Pourquoi ne pourrait-on pas ?

[invite51d17075]

sans la continuité ici, c'est faux

je ne comprend pas.
ce n'est pas la continuité qui joue dans cette démonstration, mais uniquement de fait que f soit définie partout sur R

[invite5150dbce]

En calculant une somme infinie, tu calcules une limite. On peut tout aussi bien montrer par récurrence que la somme de n nombres rationnels est rationnelle pour tout entier naturel n

[invite2b14cd41]

En calculant une somme infinie, tu calcules une limite. On peut tout aussi bien montrer par récurrence que la somme de n nombres rationnels est rationnelle pour tout entier naturel n

Et que fait tu de e , pi .... ces nombres irrationnels sont tous des séries de rationnels ... !!!

[invite5150dbce]

Et que fait tu de e , pi .... ces nombres irrationnels sont tous des séries de rationnels ... !!!

Je n'ai pas dit le contraire d'ailleur ce ne sont pas les seuls. Relis mon post, le point que je touche est plus subtile ou alors je n'ai pas été très explicite

[invite2b14cd41]

Je n'ai pas dit le contraire d'ailleur ce ne sont pas les seuls. Relis mon post, le point que je touche est plus subtile ou alors je n'ai pas été très explicite

Tu ne visait peut être pas des sommes infinies (n naturel)...
Concernant la dérivabilité de f(x)=0 en 0 , je rencontre un petit problème puisque:
lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = 0/0

[invite5150dbce]

Si tu veux je vais donner un exemple avec e

e=Somme(n=0-->+inf)(1/n!)
Donc e=lim(k-->+inf)(Somme(n=0-->k)(1/n!))

Or pour tout entier naturel k, comme Somme(n=0-->k)(1/n!) est rationnel puisque c'est la somme de nombre rationnels, f(Somme(n=0-->k)(1/n!))=Somme(n=0-->k)(1/n!)f(1)

Mais peut on passer à la limite sans que la fonction ne soit continue ?

[invite5150dbce]

Tu ne visait peut être pas des sommes infinies (n naturel)...
Concernant la dérivabilité de f(x)=0 en 0 , je rencontre un petit problème puisque:
lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = 0/0

0 est une constante pour tout x appartenant à IR, f(x)=0

Donc lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = lim x->0 (0-0)/x = lim x->0 0/x

[invite5150dbce]

je ne comprend pas.
ce n'est pas la continuité qui joue dans cette démonstration, mais uniquement de fait que f soit définie partout sur R

Par ce que ce qui nous pose problème c'est justement entre les rationnels (voir post plus haut) et lorque tu calcules une somme de rationnels, tu auras toujours un rationnel qui sera juste une approximation de ton irrationnel et si la fonction n'est pas continue, l'image de l'approximation et de l'irrationnel seront différents (ne tendront pas vers la même limite).