Fonctions telles que : f(a)+f(b)=f(a+b)

[invite90942d5b]

Pfiouu!


Moi qui n'ai même pas compris pourquoi ceci... >>

on sait aussi que f(x)=x*f(1) pour tout rationnel.

je croyais qu'il n'y avais que 2*f(x)=f(2x) mais je ne comprend pas du tout pourquoi f(x)=x*f(1) vous ne l'avez prouvé nulle part, si....?
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[invite1e1a1a86]

pour n entier
f(n+1)=f(n)+f(1)
donc par récurrence: f(n)=n*f(1)
puis
f(-n+n)=f(-n)+f(n)=f(0)=0
donc pour n entier relatif, la relation ci dessus est vraie

puis
f(1)=f(n/n)=f(1/n+1/n+...1/n)=nf(1/n)
ainsi f(1/n)=1/n*f(1)

par suite
f(p/q)=p/q*f(1)

la relation est vraie pour tout les rationnels

[invite2b14cd41]

Il essaie de démontrer la continuité de f mais il utilise pour ça la continuité de f

limite f(x) quand x tend vers a est f(a) <=> f est continue en a

dans la première version de sa démonstration il dit f(dx) tend vers f(0) ce qui n'est à priori pas vraie

de même pour sa seconde version où il passe à la limite dans f.

Merci. Mais ne peut on pas considérer dx comme un rationel (Q et dense dans R) et dire que cela est vrai ?
Je sens que je vais me faire gronder

[invite90942d5b]

pour n entier
f(n+1)=f(n)+f(1)
donc par récurrence: f(n)=n*f(1)
puis
f(-n+n)=f(-n)+f(n)=f(0)=0
donc pour n entier relatif, la relation ci dessus est vraie

Ah Aaaaah!! Ok! merci pour l'explication!
j'avais pas compris que vous aviez récuré en prenant f(2)=2f(1) comme point de départ

Bon, pour la suite, je vous laisse continuer, j'ai d'autres affaires plus urgentes et plus faciles à résoudre en plus.....

[invite1e1a1a86]

Merci. Mais ne peut on pas considérer dx comme un rationel (Q et dense dans R) et dire que cela est vrai ?
Je sens que je vais me faire gronder

c'est malin mais ça ne montre alors plus ce qu'on cherche

par exemple la fonction de Dirichlet (=1 si x est rationnel, 0 sinon)

Mais l'exercice est déjà résolue

si on impose f continue alors ce sont les f(x)=ax
sinon, on peut avoir toutes sortes de monstres.

[invite51d17075]

.............................. ...
edité : correction en cours

[invite51d17075]

merci à tous pour cette belle piqure de rappel.

ne connaissant pas ( ou ne me souvenant plus ) du cas apparement célèbre de l'équation fonctionnelle de Cauchy; après avoir vite vu la solution sur Q, j'ai foncé sur des solutions eventuelles avec une approche "terminale" pour chercher l'extention à R
alors que c'est typiquement un sujet de MP' !!

alors un petit amical au passage pour tous ceux qui connaissaient déjà bien ce problème et ont du s'amuser un peu en voyant certains d'entre nous partir dans les pièges prévisibles !!

[invite5150dbce]

Bah justement ansset, avec des connaissances niveau terminal, on peut s'en sortir, il faut faire preuve d'ouverture d'esprit et envisager tous les cas possibles. C'est vrai qu'il y a des solutions un peu bizzard mais quelques fois, il faut faire preuve d'intuition.

En tout cas je vous félicite tous pour votre recherche sur le sujet. Merci à médiat et Thorin qui connaissaient déjà le problème et qui ont permis de confirmer mes intuitions
Surtout merci à ansset pour avoir chercher au maximum à prouver que la fonction était continue, ça m'a permis d'essayer de prouver l'inverse.

Je vous remercie donc pour cette expérience enrichissante pour l'élève de terminale que je suis

[invite51d17075]

merci hhh,
ne me remercie pas pour mon coté "tête baissée"

mais si j'avais lu avant l'article de wiki, je me serais calmé tout de
suite.
non, ce qui m'amuse, c'est que je ( j'essaye) de revenir un peu au maths depuis peu, et c'est parfois surprenant.
donc je me moque un peu de moi même sachant que j'étais quand même admis à norm sup à l'époque.
c'est ça qui me fait bizarre, de s'y remettre 30 ans après.
mais c'est comme le velo, ça revient quand même pas si mal.

bonne soirée à toi.

[invite5150dbce]

donc je me moque un peu de moi même sachant que j'étais quand même admis à norm sup à l'époque.

bonne soirée à toi.

merci et d'essayer de s'y remettre 30 ans après franchement, bravo, peu de gens en aurait le courage. En ce qui concerne normal sup, leur recrutement est très selectif, je suis impressionné

[invite2b14cd41]

Je ne peux que vous remercier pour tous vos efforts ...
Cependant, étant donné que mon niveau en maths reste faible, je me pose encore plein de questions: quels sont ces autres monstres ou cas pathologiques qui vérifient l'équation fonctionnelle de Cauchy et qui ne sont continues en aucun point? Comment faire pour en trouver une ?

Et pourquoi hhh86 parle-t-il un moment de "l'axiome du choix"? Pouvez-vous m'expliquer en quelques mots ce que cet axiome postule?

Qu'est-ce qu'un endomorphisme ?
Bref, je vous en demande peut être un peu trop. Ne maîtrisant même pas la notion d'espace vectoriel, je pense que vous auriez du mal à m'expliquer tout cela en quelques mots... D'ailleurs, des liens vers des cours d'analyse de base, niveau MPSI, seraient les bienvenues (je m'y mettrai sérieusement au mois de Juin, le bac passé ).

[invite90942d5b]

je me pose encore plein de questions: quels sont ces autres monstres ou cas pathologiques qui vérifient l'équation fonctionnelle de Cauchy et qui ne sont continues en aucun point? Comment faire pour en trouver une ?

Et pourquoi hhh86 parle-t-il un moment de "l'axiome du choix"? Pouvez-vous m'expliquer en quelques mots ce que cet axiome postule?

Je me suis laissé paumer aussi
Perso j'ai pas réussi à prendre la peine de comprendre, et pourtant, je suis en PCSI, je dois m'inquiéter ??
(je veux dire, c'est accessible aux PCSIs futur SIstes? )

[Médiat]

Je ne peux que vous remercier pour tous vos efforts ...
Cependant, étant donné que mon niveau en maths reste faible, je me pose encore plein de questions: quels sont ces autres monstres ou cas pathologiques qui vérifient l'équation fonctionnelle de Cauchy et qui ne sont continues en aucun point? Comment faire pour en trouver une ?

J'ai donné une idée de la construction d'une telle fonction au message #52.

Et pourquoi hhh86 parle-t-il un moment de "l'axiome du choix"? Pouvez-vous m'expliquer en quelques mots ce que cet axiome postule?

C'est plutôt Thorin qui a posé la question de l'axiome du choix. Question très au-delà du niveau lycée, il permet de démontrer (entre autres, mais c'est ce qui est utile ici)que tous les espaces vectoriels ont une base.

Cet axiome dit que le produit cartésien d'une famille non vide d'ensembles non vides est non vide.
ce qui est équivalent au théorème de Zermelo : Tout ensemble non vide peut être muni d'un bon ordre (hors programme au niveau lycée)
ce qui est équivalent au lemme de Zorn : tout ensemble inductif (hors programme au niveau lycée) non vide admet un élément maximal

J'ai cité les deux équivalences (il y en a d'autres) bien qu'hors programme niveau lycée, à cause d'une citation du mathématicien Jerry Bona :

L'axiome du choix est évidemment vrai, le théorème de Zermelo est évidemment faux, et personne ne sait ce que veut dire le lemme de Zorn.

Citation qui montre que cet axiome est à la fois très simple et très compliqué ; je peux en donner une idée, grace à un aphorisme de Bertrand Russell :

L'axiome du choix est nécessaire pour choisir un sous-ensemble dans une infinité de paire de chaussettes, mais pas pour choisir dans une infinité de paires de chaussures

Imaginons une commode avec 3 tiroirs contenant chacun une paire de chaussettes ; pour indiquer à une autre personne, incapable de prendre la plus petite décision, quelle chaussette prendre dans chaque tiroir, alors que chacune convient, et que la position des chaussettes dans chaque tiroir est inconnue, on pourra trouver une formulation du genre :

1. Tiroir du haut : celle avec un trou
2. Tiroir du milieu : celle qui est légèrement délavée
3. Tiroir du bas : celle dont l’élastique est détendu

Avec un nombre fini de tiroirs, il est toujours possible de trouver une façon de distinguer une chaussette parmi 2 (même s’il faut un microscope et beaucoup de patience).

Si le problème se repose avec des chaussures, une solution plus simple consiste à dire « je veux les chaussures gauches ».

Dans le cas infini, la solution pour des chaussures continue de marcher, par contre pour les chaussettes cela ne marche plus (il faudrait une infinité de phrases).

L’axiome du choix dit juste qu’il existe une boîte noire (on ne la connait pas, mais on sait qu'elle existe) qui une fois mise dans un tiroir en prend une et la donne à la personne incapable de faire ce choix toute seule.

[invite2b14cd41]

Dans le cas infini, la solution pour des chaussures continue de marcher, par contre pour les chaussettes cela ne marche plus (il faudrait une infinité de phrases).

L’axiome du choix dit juste qu’il existe une boîte noire (on ne la connait pas, mais on sait qu'elle existe) qui une fois mise dans un tiroir en prend une et la donne à la personne incapable de faire ce choix toute seule.

Merci, je comprends un peu mieux

[invite51d17075]

Dans le cas infini, la solution pour des chaussures continue de marcher, par contre pour les chaussettes cela ne marche plus (il faudrait une infinité de phrases).
.

les maths sont bien faites, si ça continue de "marcher" pour les chaussures.
je n'ai pas pu m'empêcher

[Médiat]

je n'ai pas pu m'empêcher

Alors nous sommes deux

[invite5150dbce]

J'ai donné une idée de la construction d'une telle fonction au message #52.


C'est plutôt Thorin qui a posé la question de l'axiome du choix. Question très au-delà du niveau lycée, il permet de démontrer (entre autres, mais c'est ce qui est utile ici)que tous les espaces vectoriels ont une base.

En tout cas merci à toi mediat d'avoir bien voulu essayer de prendre la peine de nous expliquer cet axiome.

[invite90942d5b]

Dans le cas infini, la solution pour des chaussures continue de marcher, par contre pour les chaussettes cela ne marche plus (il faudrait une infinité de phrases).

L’axiome du choix dit juste qu’il existe une boîte noire (on ne la connait pas, mais on sait qu'elle existe) qui une fois mise dans un tiroir en prend une et la donne à la personne incapable de faire ce choix toute seule.

Belle illustration !
Merci, j'y vois mieux aussi