Je ne comprends pas pourquoi lim x->0 0/x = 0 .... Toujours des problèmes avec ce sacré 0 ...
Et ansset a déjà démontré que f est continue :
lim h->0 f(x+h)=lim h->0 f(x)+f(h)= f(x)+f(0)=f(x)
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Je ne comprends pas pourquoi lim x->0 0/x = 0 .... Toujours des problèmes avec ce sacré 0 ...
Et ansset a déjà démontré que f est continue :
lim h->0 f(x+h)=lim h->0 f(x)+f(h)= f(x)+f(0)=f(x)
ben c'est ce qu'il me semble, du moment que la fonction est definie partout, c'est d'ailleurs pourquoi je ne comprend pas la remarque de Schliesse.Si tu veux je vais donner un exemple avec e
e=Somme(n=0-->+inf)(1/n!)
Donc e=lim(k-->+inf)(Somme(n=0-->k)(1/n!))
Or pour tout entier naturel k, comme Somme(n=0-->k)(1/n!) est rationnel puisque c'est la somme de nombre rationnels, f(Somme(n=0-->k)(1/n!))=Somme(n=0-->k)(1/n!)f(1)
Mais peut on passer à la limite sans que la fonction ne soit continue ?
finalement, derrière un pb simple, on re-soulève des questions qui pour moi ne sont pas ou ne sont plus triviales.
j'avais aussi une autre approche:
si il y a "peut être" une indetermination pour f'(x), ce n'est pas le cas pour f"".
en effet
f''(x) existe si la limite de (f(x+dx) +f(x-dx)-2f(x))/dx² existe
or
queslque soit dx :
f(x+dx)+f(x-dx)-2f(x) = 0
donc on retrouve
0/dx² = 0 quelque soit dx, donc f"(x)=0 !!?
je sens que schliess va me gronder
On peut très bien construire une telle fonction non continue sur un sous ensemble de IR donc sur IR aussi
Soit f la fonction définie par :
f(x)=x pour tout x de Q
f(x)=2x pour tout x de {r√2 avec r appartient à Q}
oui, d'ailleurs je viens de re-comprendre le sens de la pseudo dérivée seconde au sens de schwarz !
ce calcul n'a de sens que si f est continue sur IR, parceque sur Q, c'est OK
quelle que soit la démonstration que l'on propose.
donc
au final, je crois que tout l'exercice depend du postulat ou pas de la continuité de f .
Non f n'est pas continue sur IR (on a déjà traité les autres cas) si ce serait le cas alors un seul type de fonctions existerait. La seule information qu'on connait sur f est qu'elle est définie sur IR.
Ensuite pour la fonction que j'ai proposé, elle est définie sur {r√2+q avec q et r appartennant à Q}. Il est assez difficile de prolonger beaucoup plus loin car on ne peut pas écrire l'ensemble des irrationnels. Néanmoins on peut procéder par exemple ainsi :
Soit f la fonction définie par :
f(x)=tnx pour x appartenant à {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}
Après, il y a des axiomes qui entrent en jeu puisque rien ne dit que {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}=IR si ce n'est le bon sens. C'est un peu comme l'axiome de récurrence pour construire IN
j'y reviens encore une fois car le doute m'assaille.
et je re change encore d'avis ( pardon ).
la fonction de hhh ne fonctionne pas.
car elle n'est pas définie "partout":
f(1+rac(2)) n'est pas définie.
on sait que si f est continue en 0 elle l'est "partout", ou alors elle l'est "nulle part".
on sait aussi que f(x)=x*f(1) pour tout rationnel.
donc j'en reviens quand même à l'avant dernière demo en decomposant tout réel en suite de rationnel, qui à mon sens ne fait intervenir que la définition de f sur R, et non sa continuité supposée.
pardon, je veux bien comprendre, mais la lecture est difficileAprès, il y a des axiomes qui entrent en jeu puisque rien ne dit que {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}=IR si ce n'est le bon sens. C'est un peu comme l'axiome de récurrence pour construire IN
tkrk? tiri ?
Je sais mais c'était juste une question de place (de place infini)
Jète un coup d'oeil à la dernière fonction que j'ai mis en place
Après, il y a des axiomes qui entrent en jeu puisque rien ne dit que {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}=IR si ce n'est le bon sens. C'est un peu comme l'axiome de récurrence pour construire IN
Soit f la fonction définie par :
f(x)=Somme(k=0-->n)(tk²rk) pour x appartenant à {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}
mais comme je le dis il faut vérifier que {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}=IR
J'ai l'esprit un peu tordu je sais mais c'est l'idée que j'avais développé précédemment. Il faut juste faire attention que les ensembles ne se recoupent pas
En plus si on admet que l'ensemble est bien IR, la preuve est rapide
Au passage, en changent la puissance de tk, cela prouve qu'il existe une infiinité de fonction non continue qui vérifie la propriété
bien sur avec n décrivant INSoit f la fonction définie par :
f(x)=Somme(k=0-->n)(tk²rk) pour x appartenant à {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}
mais comme je le dis il faut vérifier que {Somme(k=0-->n)(tkrk) où rk décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t0=1 et tk+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(tiri)} pour tout k de {0;...;n}}=IR
si ce n'est pas très clair, je veux bien essayer d'être un peu plus explicite de plus j'ai fait plein d'ajouts et cela devient un peu flou
j'avoue
ce n'est pas l'intention qui me derange et que je comprend.
d'ailleurs je n'arrive pas à demontrer la continuité de f.
grrrr !
c'est plutôt l'ecriture qui est un peu obscure.
et sur le fond, j'ai mal saisi pourquoi, sachant que Q est dense dans R, ma demonstration en approchant x par une suite ne fonctionnerait pas.
ps: j'avais bien saisi depuis le debut que la difficulté était le passage de Q à R !!, d'ou l'idée de passer par une suite
Dernière modification par ansset ; 25/04/2010 à 09h45.
justement à cause de la continuité, la suite ne peut pas être approchéej'avoue
ce n'est pas l'intention qui me derange et que je comprend.
d'ailleurs je n'arrive pas à demontrer la continuité de f.
grrrr !
c'est plutôt l'ecriture qui est un peu obscure.
et sur le fond, j'ai mal saisi pourquoi, sachant que Q est dense dans R, ma demonstration en approchant x par une suite ne fonctionnerait pas.
ps: j'avais bien saisi depuis le debut que la difficulté était le passage de Q à R !!, d'ou l'idée de passer par une suite
sinon mon idée pour résumer, c'est de créer la fonction f telle que :
-aux rationnels r on associe r par exemple
-ensuite on choisit un nombre irrationnel quelquonque t et à tout les éléments de rt+q avec r et q rationnels, on associe rt²+q
-on choisit un nouveau nombre irrationnel t' qui n'appartient pas à l'ensemble {rt+q} et à tous les éléments de rt'+qt+s on associe rt'²+qt²+s
-ainsi de suite
sinon par cette méthode tu peux montrer tout et n'importe quoi.
Prenons un exemple un peu débile
Soit f la fonction définie par
f(x)=x pour tout réel x différent de 0
f(0)=1
Par ta méthode tu vas réussir à me démontrer que f(0)=0
Pour ce qui est de la continuité de f :
dans cet exo, il suffit de supposer f continue en un point pour obtenir qu'elle est continue sur R entier.
Une fois que l'on sait qu'elle est continue sur R entier, on peut démontrer qu'il que les seules solution sont les fonction de la forme f(x)=ax.
Pour ce qui est du passage à la limite, je rappelle qu'une fonction est continue en un point x si et seulement si toute suiteconvergeant vers x est telle que la suite
converge vers f(x).
Ainsi donc, pour passer des rationnels aux irrationnels, le simple fait que f soit définie sur R ne suffit pas !! la continuité, en revanche, elle, suffit.
on ne peut absolument pas écrire, si f n'est pas continue et sans rien savoir d'autre sur f, quetend vers f(e)...j'ai l'impression que ce genre de chose est pourtant affirmée par Ansset.
On peut trouver des fonctions qui respectent l'égalité f(a)+f(b)=f(a+b) sans être des fonctions affines, mais ce n'est pas trivial, car une telle fonction ne doit être continue en aucun point...
Si j'ai bien compris la formalisation de ton idée est donnée sur la wikipedia anglophone (ce que tu dis correspond au cas particuliersinon mon idée pour résumer, c'est de créer la fonction f telle que :
-aux rationnels r on associe r par exemple
-ensuite on choisit un nombre irrationnel quelquonque t et à tout les éléments de rt+q avec r et q rationnels, on associe rt²+q
-on choisit un nouveau nombre irrationnel t' qui n'appartient pas à l'ensemble {rt+q} et à tous les éléments de rt'+qt+s on associe rt'²+qt²+s
-ainsi de suite).
(mais on s'écarte des maths du collège/lycée là)
j'avais pas vu, merci pour l'info, je vais regarder. C'était juste une idéeSi j'ai bien compris la formalisation de ton idée est donnée sur la wikipedia anglophone (ce que tu dis correspond au cas particulier).
(mais on s'écarte des maths du collège/lycée là)
Il n'empêche que c'est une construction de IR originale
Je vais donner un exemple de fonction qui prolonge la fonction définie surpar f(x) = ax.
Une première remarque :
certains nombres réels (pas tous) peuvent s'écrire sous la forme x + ey, où e est la base de l'exponentielle naturelle, et x et y des rationnels. Les nombres qui s'écrivent sous cette forme, s'écrivent de façon unique sous cette forme (facile à démontrer). Je note
Si on pose f(e) = b avec be différent de a, la fonction définie par
f(x+ey) = ax + by, est bien une fonction dedans
(a et b ne sont pas forcément des rationnels) qui vérifie l'équation fonctionnelle.
On peut prolonger ce prolongement en remarquant que certains réels peuvent s'écrire sous la forme, où x, y et z sont des rationnels. Les nombres qui s'écrivent sous cette forme, s'écrivent de façon unique sous cette forme (facile à démontrer aussi) ; on fait pareil pour la suite pour un certain c.
En fait cette succession de prolongement fait apparaître des sous-ensembles decomme des espaces vectoriels sur
, où la fonction est linéaire sur chaque sev engendrés par les vecteurs de la base.
Comme (mais là ce n'est plus du niveau lycée),est un ev de dimension infinie (je sais c'est flou, la suite au niveau supérieur
) sur
, "il suffit" de choisir une base de cet ev et pour chaque élément de la base de choisir arbitrairement son image.
[EDIT] : Grillé ; cette présentation est une version simplifiée de l'article du wikipedia anglophone
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'était ma vision des choses, merci pour ces explications médiat![]()
Je pense qu'on aura le temps de voir ça dans les années futures après le lycée![]()
L'article ne répond pas à la question suivante, que je me pose cependant :
la "construction" de telles fonctions solutions fait appel à l'axiome du choix. Peut-on affirmer, sans utiliser l'axiome du choix, que l'équation fonctionnelle admet des fonctions non linéaires ?
Je me pose la même question mais peut-être que sans l'axiome de choix la question est indécidable ?
Question difficile, l'axiome du choix permet de dire que l'on peut construire (à l'aide de la fonction de choix que l'on ne connaît pas) une solution, mais rien ne prouve que sans cette axiome on ne pourrait pas ; et la seule technique que je connaisse pour faire ce genre de démonstration est de faire explicitement la construction.
Le fond de la difficulté vient de ce que la décomposition sur une base est unique, par contre on ne peut pas dire que tous les réels s'écrivent de façon unique sous la forme x + y où x est rationnel et y un irrationnel.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
tu forces un peu le trait!
dès le debut de ce fil , j'ai bien expliqué pourquoi c'était immediat sur Q et que la difficulté était le passage à R
je n'ai pas "affirmé" qu'un passage par les suites était une preuve, je l'ai supposé, apparement à tord.
mais c'est aussi en essayant des directions de travail qu'on creuse mieux le pb, qui n'est pas si trivial que ça.
si tu relis mes posts, tu verras que j'ai douté dans les deux sens !
Dernière modification par ansset ; 25/04/2010 à 12h35.
Tu as raison, c'est bien de se poser des questions, de chercher à comprendre, c'est la seule manière d'approfondir un raisonnement.tu forces un peu le trait!
dès le debut de ce fil , j'ai bien expliqué pourquoi c'était immediat sur Q et que la difficulté était le passage à R
je n'ai pas "affirmé" qu'un passage par les suites était une preuve, je l'ai supposé, apparement à tord.
mais c'est aussi en essayant des directions de travail qu'on creuse mieux le pb, qui n'est pas si trivial que ça.
oula ... je ne m'attendais pas à autant de réponses et j'avoue que je suis dépassé avec mon très modeste niveau de terminale.
Je n'ai toujours pas compris pourquoi la preuve donnée par ansset au début , pour démontrer que f est nécessairement continue, n'est pas valable ...![]()
Il essaie de démontrer la continuité de f mais il utilise pour ça la continuité de f
limite f(x) quand x tend vers a est f(a) <=> f est continue en a
dans la première version de sa démonstration il dit f(dx) tend vers f(0) ce qui n'est à priori pas vraie
de même pour sa seconde version où il passe à la limite dans f.