Fonctions telles que : f(a)+f(b)=f(a+b)

[invite2b14cd41]

Je ne comprends pas pourquoi lim x->0 0/x = 0 .... Toujours des problèmes avec ce sacré 0 ...
Et ansset a déjà démontré que f est continue :
lim h->0 f(x+h)=lim h->0 f(x)+f(h)= f(x)+f(0)=f(x)
-----

[ansset]

Si tu veux je vais donner un exemple avec e

e=Somme(n=0-->+inf)(1/n!)
Donc e=lim(k-->+inf)(Somme(n=0-->k)(1/n!))

Or pour tout entier naturel k, comme Somme(n=0-->k)(1/n!) est rationnel puisque c'est la somme de nombre rationnels, f(Somme(n=0-->k)(1/n!))=Somme(n=0-->k)(1/n!)f(1)

Mais peut on passer à la limite sans que la fonction ne soit continue ?

ben c'est ce qu'il me semble, du moment que la fonction est definie partout, c'est d'ailleurs pourquoi je ne comprend pas la remarque de Schliesse.

finalement, derrière un pb simple, on re-soulève des questions qui pour moi ne sont pas ou ne sont plus triviales.

j'avais aussi une autre approche:
si il y a "peut être" une indetermination pour f'(x), ce n'est pas le cas pour f"".

en effet
f''(x) existe si la limite de (f(x+dx) +f(x-dx)-2f(x))/dx² existe
or
queslque soit dx :
f(x+dx)+f(x-dx)-2f(x) = 0
donc on retrouve
0/dx² = 0 quelque soit dx, donc f"(x)=0 !!?

je sens que schliess va me gronder

[invite5150dbce]

On peut très bien construire une telle fonction non continue sur un sous ensemble de IR donc sur IR aussi

Soit f la fonction définie par :
f(x)=x pour tout x de Q
f(x)=2x pour tout x de {r√2 avec r appartient à Q}

[ansset]

On peut très bien construire une telle fonction non continue sur un sous ensemble de IR donc sur IR aussi

Soit f la fonction définie par :
f(x)=x pour tout x de Q
f(x)=2x pour tout x de {r√2 avec r appartient à Q}

oui, d'ailleurs je viens de re-comprendre le sens de la pseudo dérivée seconde au sens de schwarz !
ce calcul n'a de sens que si f est continue sur IR, parceque sur Q, c'est OK
quelle que soit la démonstration que l'on propose.
donc

au final, je crois que tout l'exercice depend du postulat ou pas de la continuité de f .

[invite2b14cd41]

donc sur IR aussi

J'aimerai bien savoir comment, et je vous rapelle que vous aviez déjà démontré que f est continue sur |R

[invite5150dbce]

Non f n'est pas continue sur IR (on a déjà traité les autres cas) si ce serait le cas alors un seul type de fonctions existerait. La seule information qu'on connait sur f est qu'elle est définie sur IR.

Ensuite pour la fonction que j'ai proposé, elle est définie sur {r√2+q avec q et r appartennant à Q}. Il est assez difficile de prolonger beaucoup plus loin car on ne peut pas écrire l'ensemble des irrationnels. Néanmoins on peut procéder par exemple ainsi :

Soit f la fonction définie par :
f(x)=t_nx pour x appartenant à {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}

[invite5150dbce]

Après, il y a des axiomes qui entrent en jeu puisque rien ne dit que {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}=IR si ce n'est le bon sens. C'est un peu comme l'axiome de récurrence pour construire IN

[ansset]

j'y reviens encore une fois car le doute m'assaille.
et je re change encore d'avis ( pardon ).

la fonction de hhh ne fonctionne pas.
car elle n'est pas définie "partout":
f(1+rac(2)) n'est pas définie.

on sait que si f est continue en 0 elle l'est "partout", ou alors elle l'est "nulle part".
on sait aussi que f(x)=x*f(1) pour tout rationnel.

donc j'en reviens quand même à l'avant dernière demo en decomposant tout réel en suite de rationnel, qui à mon sens ne fait intervenir que la définition de f sur R, et non sa continuité supposée.

[ansset]

Après, il y a des axiomes qui entrent en jeu puisque rien ne dit que {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}=IR si ce n'est le bon sens. C'est un peu comme l'axiome de récurrence pour construire IN

pardon, je veux bien comprendre, mais la lecture est difficile
tkrk? tiri ?

[invite5150dbce]

Je sais mais c'était juste une question de place (de place infini)
Jète un coup d'oeil à la dernière fonction que j'ai mis en place

[invite5150dbce]

pardon, je veux bien comprendre, mais la lecture est difficile
tkrk? tiri ?

Désolé en plus il y a une petite erreure dans la fonction, je reprends

[invite5150dbce]

Après, il y a des axiomes qui entrent en jeu puisque rien ne dit que {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}=IR si ce n'est le bon sens. C'est un peu comme l'axiome de récurrence pour construire IN

Soit f la fonction définie par :
f(x)=Somme(k=0-->n)(t_k²r_k) pour x appartenant à {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}


mais comme je le dis il faut vérifier que {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}=IR

[invite5150dbce]

J'ai l'esprit un peu tordu je sais mais c'est l'idée que j'avais développé précédemment. Il faut juste faire attention que les ensembles ne se recoupent pas

En plus si on admet que l'ensemble est bien IR, la preuve est rapide

[invite5150dbce]

Au passage, en changent la puissance de t_k, cela prouve qu'il existe une infiinité de fonction non continue qui vérifie la propriété

[invite5150dbce]

Soit f la fonction définie par :
f(x)=Somme(k=0-->n)(t_k²r_k) pour x appartenant à {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}


mais comme je le dis il faut vérifier que {Somme(k=0-->n)(t_kr_k) où r_k décrit l'ensemble des rationnels pour tout k de {0;...;n}; t₀=1 et t_k+1 n'appartenant pas à {Somme(i=0-->k)(t_ir_i)} pour tout k de {0;...;n}}=IR

bien sur avec n décrivant IN
si ce n'est pas très clair, je veux bien essayer d'être un peu plus explicite de plus j'ai fait plein d'ajouts et cela devient un peu flou

[ansset]

bien sur avec n décrivant IN
si ce n'est pas très clair, je veux bien essayer d'être un peu plus explicite de plus j'ai fait plein d'ajouts et cela devient un peu flou

j'avoue
ce n'est pas l'intention qui me derange et que je comprend.
d'ailleurs je n'arrive pas à demontrer la continuité de f.
grrrr !

c'est plutôt l'ecriture qui est un peu obscure.
et sur le fond, j'ai mal saisi pourquoi, sachant que Q est dense dans R, ma demonstration en approchant x par une suite ne fonctionnerait pas.

ps: j'avais bien saisi depuis le debut que la difficulté était le passage de Q à R !!, d'ou l'idée de passer par une suite

[invite5150dbce]

j'avoue
ce n'est pas l'intention qui me derange et que je comprend.
d'ailleurs je n'arrive pas à demontrer la continuité de f.
grrrr !

c'est plutôt l'ecriture qui est un peu obscure.
et sur le fond, j'ai mal saisi pourquoi, sachant que Q est dense dans R, ma demonstration en approchant x par une suite ne fonctionnerait pas.

ps: j'avais bien saisi depuis le debut que la difficulté était le passage de Q à R !!, d'ou l'idée de passer par une suite

justement à cause de la continuité, la suite ne peut pas être approchée

sinon mon idée pour résumer, c'est de créer la fonction f telle que :
-aux rationnels r on associe r par exemple
-ensuite on choisit un nombre irrationnel quelquonque t et à tout les éléments de rt+q avec r et q rationnels, on associe rt²+q
-on choisit un nouveau nombre irrationnel t' qui n'appartient pas à l'ensemble {rt+q} et à tous les éléments de rt'+qt+s on associe rt'²+qt²+s
-ainsi de suite

[invite5150dbce]

j'avoue
ce n'est pas l'intention qui me derange et que je comprend.
d'ailleurs je n'arrive pas à demontrer la continuité de f.
grrrr !

sinon par cette méthode tu peux montrer tout et n'importe quoi.
Prenons un exemple un peu débile

Soit f la fonction définie par
f(x)=x pour tout réel x différent de 0
f(0)=1

Par ta méthode tu vas réussir à me démontrer que f(0)=0

[invitec317278e]

Pour ce qui est de la continuité de f :

dans cet exo, il suffit de supposer f continue en un point pour obtenir qu'elle est continue sur R entier.
Une fois que l'on sait qu'elle est continue sur R entier, on peut démontrer qu'il que les seules solution sont les fonction de la forme f(x)=ax.


Pour ce qui est du passage à la limite, je rappelle qu'une fonction est continue en un point x si et seulement si toute suite convergeant vers x est telle que la suite converge vers f(x).
Ainsi donc, pour passer des rationnels aux irrationnels, le simple fait que f soit définie sur R ne suffit pas !! la continuité, en revanche, elle, suffit.

on ne peut absolument pas écrire, si f n'est pas continue et sans rien savoir d'autre sur f, que tend vers f(e)...j'ai l'impression que ce genre de chose est pourtant affirmée par Ansset.


On peut trouver des fonctions qui respectent l'égalité f(a)+f(b)=f(a+b) sans être des fonctions affines, mais ce n'est pas trivial, car une telle fonction ne doit être continue en aucun point...

[Flyingsquirrel]

sinon mon idée pour résumer, c'est de créer la fonction f telle que :
-aux rationnels r on associe r par exemple
-ensuite on choisit un nombre irrationnel quelquonque t et à tout les éléments de rt+q avec r et q rationnels, on associe rt²+q
-on choisit un nouveau nombre irrationnel t' qui n'appartient pas à l'ensemble {rt+q} et à tous les éléments de rt'+qt+s on associe rt'²+qt²+s
-ainsi de suite

Si j'ai bien compris la formalisation de ton idée est donnée sur la wikipedia anglophone (ce que tu dis correspond au cas particulier ).

(mais on s'écarte des maths du collège/lycée là )

[invite5150dbce]

Si j'ai bien compris la formalisation de ton idée est donnée sur la wikipedia anglophone (ce que tu dis correspond au cas particulier ).

(mais on s'écarte des maths du collège/lycée là )

j'avais pas vu, merci pour l'info, je vais regarder. C'était juste une idée

Il n'empêche que c'est une construction de IR originale

[Médiat]

Je vais donner un exemple de fonction qui prolonge la fonction définie sur par f(x) = ax.

Une première remarque :
certains nombres réels (pas tous) peuvent s'écrire sous la forme x + ey, où e est la base de l'exponentielle naturelle, et x et y des rationnels. Les nombres qui s'écrivent sous cette forme, s'écrivent de façon unique sous cette forme (facile à démontrer). Je note

Si on pose f(e) = b avec be différent de a, la fonction définie par
f(x+ey) = ax + by, est bien une fonction de dans (a et b ne sont pas forcément des rationnels) qui vérifie l'équation fonctionnelle.

On peut prolonger ce prolongement en remarquant que certains réels peuvent s'écrire sous la forme , où x, y et z sont des rationnels. Les nombres qui s'écrivent sous cette forme, s'écrivent de façon unique sous cette forme (facile à démontrer aussi) ; on fait pareil pour la suite pour un certain c.

En fait cette succession de prolongement fait apparaître des sous-ensembles de comme des espaces vectoriels sur , où la fonction est linéaire sur chaque sev engendrés par les vecteurs de la base.

Comme (mais là ce n'est plus du niveau lycée), est un ev de dimension infinie (je sais c'est flou, la suite au niveau supérieur ) sur , "il suffit" de choisir une base de cet ev et pour chaque élément de la base de choisir arbitrairement son image.

[EDIT] : Grillé ; cette présentation est une version simplifiée de l'article du wikipedia anglophone

[invite5150dbce]

C'était ma vision des choses, merci pour ces explications médiat

Je pense qu'on aura le temps de voir ça dans les années futures après le lycée

[invitec317278e]

[EDIT] : Grillé ; cette présentation est une version simplifiée de l'article du wikipedia anglophone

L'article ne répond pas à la question suivante, que je me pose cependant :

la "construction" de telles fonctions solutions fait appel à l'axiome du choix. Peut-on affirmer, sans utiliser l'axiome du choix, que l'équation fonctionnelle admet des fonctions non linéaires ?

[invite5150dbce]

Je me pose la même question mais peut-être que sans l'axiome de choix la question est indécidable ?

[Médiat]

L'article ne répond pas à la question suivante, que je me pose cependant :

la "construction" de telles fonctions solutions fait appel à l'axiome du choix. Peut-on affirmer, sans utiliser l'axiome du choix, que l'équation fonctionnelle admet des fonctions non linéaires ?

Question difficile, l'axiome du choix permet de dire que l'on peut construire (à l'aide de la fonction de choix que l'on ne connaît pas ) une solution, mais rien ne prouve que sans cette axiome on ne pourrait pas ; et la seule technique que je connaisse pour faire ce genre de démonstration est de faire explicitement la construction.

Le fond de la difficulté vient de ce que la décomposition sur une base est unique, par contre on ne peut pas dire que tous les réels s'écrivent de façon unique sous la forme x + y où x est rationnel et y un irrationnel.

[ansset]

on ne peut absolument pas écrire, si f n'est pas continue et sans rien savoir d'autre sur f, que tend vers f(e)...j'ai l'impression que ce genre de chose est pourtant affirmée par Ansset.

tu forces un peu le trait!
dès le debut de ce fil , j'ai bien expliqué pourquoi c'était immediat sur Q et que la difficulté était le passage à R
je n'ai pas "affirmé" qu'un passage par les suites était une preuve, je l'ai supposé, apparement à tord.

mais c'est aussi en essayant des directions de travail qu'on creuse mieux le pb, qui n'est pas si trivial que ça.
si tu relis mes posts, tu verras que j'ai douté dans les deux sens !

[invite5150dbce]

tu forces un peu le trait!
dès le debut de ce fil , j'ai bien expliqué pourquoi c'était immediat sur Q et que la difficulté était le passage à R
je n'ai pas "affirmé" qu'un passage par les suites était une preuve, je l'ai supposé, apparement à tord.

mais c'est aussi en essayant des directions de travail qu'on creuse mieux le pb, qui n'est pas si trivial que ça.

Tu as raison, c'est bien de se poser des questions, de chercher à comprendre, c'est la seule manière d'approfondir un raisonnement.

[invite2b14cd41]

oula ... je ne m'attendais pas à autant de réponses et j'avoue que je suis dépassé avec mon très modeste niveau de terminale.
Je n'ai toujours pas compris pourquoi la preuve donnée par ansset au début , pour démontrer que f est nécessairement continue, n'est pas valable ...

[invite1e1a1a86]

Il essaie de démontrer la continuité de f mais il utilise pour ça la continuité de f

limite f(x) quand x tend vers a est f(a) <=> f est continue en a

dans la première version de sa démonstration il dit f(dx) tend vers f(0) ce qui n'est à priori pas vraie

de même pour sa seconde version où il passe à la limite dans f.