dérivées des volumes et des surfaces (sphère et cube)

[Raph8731]

Bonjour tout le monde

Je me pose 2 questions aujourd'hui que je n'arrive pas à résoudre :

1 - Quand on dérive le volume d'une sphère on tombe sur sa surface ( V' = S ), en effet, la dérivé de (4πR^3)/3 est 4πR².
Ma première question est donc : Y'a - t'il un sens à dériver la surface? et si oui lequel? Que ferions nous de la formule 8πR?

2 - Si on prend un cube dont les arrêtes sont de côtés a , alors le volume du cube est de a^3, sa dérivée est de 3a², ce qui ne dit pas grand chose.
Mais si on considère un cube dont les arrêtes mesures 2a, alors sont volume est de (2a)^3 = 8a^3 , sa dérivée de 8x3a² = 24a² = 6x4a² = 6x(2a)².
Dans le deuxième cas on retombe bien sur un cube dont la surface est de 6 fois (car 6 face) la surface de chaque face (2a)² . Alors que ceci ne se retrouve pas dans la première formule.
Est-ce une erreur de calcul? d'interprétation? Ou y a t'il simplement quelque chose qui m'échappe?

Merci pour les éventuelles réponses
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[Dynamix]

Salut

Quand on dérive le volume d'une sphère on tombe sur sa surface ( V' = S )

Dériver un volume ne veux rien dire .
On dérive une fonction par rapport à une variable , mais pas un volume , ni une surface
ni la casquette du père Bugeaud .

la dérivé de (4πR^3)/3 est 4πR².

La dérivée de 4πR³/3 par rapport à R
Une dérivée est un rapport . Si tu ne donnes que le numérateur , il manque quelquechose .

Pour répondre à ta question :
Tu as découvert que la dérivée d' une fonction en x³ est une fonction en x²
Vu que les volumes sont en x³ et les surfaces en x² , tu te mets à cogiter

[Raph8731]

Bonsoir,

Ok, tu m'a corrigé sur "comment exprimer mes propos avec plus de clartés", mais tu n'a pas "répondu" comme tu le prétend à la fin de ton message.
Si cela est nécessaire, je veux bien reformuler avec tes précisions:
1 - Quand on dérive la fonction représentant le volume d'une sphère par rapport à R (son rayon) on tombe sur la fonction représentant sa surface ( V' = S ), en effet, la dérivé de (4πR^3)/3 par rapport à R est bien 4πR².
Ma première question est donc : Y'a - t'il un sens à dériver S par rapport à R? Et si oui lequel? Que ferions nous de la formule 8πR, que représenterait-elle?

2 - Si on prend un cube dont les arrêtes sont de côtés a , alors la formule du volume du cube est de a^3, la dérivée de sa fonction par rapport à a est 3a², ce qui ne dit pas grand chose.
Mais si on considère un cube dont les arrêtes mesures (2a), alors la formule représentant sont volume est de (2a)^3 = 8a^3 , la dérivée de cette formule par rapport à a est 8x3a² = 24a² = 6x4a² = 6x(2a)².
Dans le deuxième cas on retombe sur la formule de la surface d'un cube, (polyèdre régulier à 6 faces, n'est-ce pas?) dont chaque surface ce calcul par la formule suivante S = (2a)². Alors que ceci ne se retrouve pas dans la première formule.
Est-ce une erreur de calcul? d'interprétation? Ou y a t'il simplement quelque chose qui m'échappe?

Ne le prend pas comme une réponse méchante. Je tiens seulement - selon les lumières que tu a su apporter - à préciser mes questionnements le plus possibles, pour nous approcher des meilleurs raisonnements possibles.

[Dynamix]

Y'a - t'il un sens à dériver S par rapport à R?

Non , aucun .

Est-ce une erreur de calcul? d'interprétation? Ou y a t'il simplement quelque chose qui m'échappe?

Non , c' est normal .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,

Pour augmenter le volume de n'importe quel patatoide convexe, on peut lui coller vers l'extérieur des couches successives d'épaisseur constante. La variation de volume quand on rajoute une petite épaisseur "de" va être égale à S*de. Dit autrement on a dV=S.de ou encore S=dV/de, ce qui est une manière d'écrire (que j'espère que vous avez déjà vue en cours) que la surface est la dérivée du volume par rapport à cette épaisseur

Pour un patatoide quelconque, ces tranches d'épaisseur constante peuvent être compliquées.

Mais il se trouve que pour la sphère, ces couches s'obtienent très simplement par une variation du rayon : de=dr
Ainsi on a directement que dV/dr=S
Pour un cube, si on augmente chaque coté de de, le coté a augmente du double de cette épaisseur : da=2de et donc S= dV/de=2dV/da
Par contre, si le cote vaut 2a, on retrouve que de=da, et la dérivée n'a plus ce facteur 2.

Petit exercice pour vous entrainer : retouver la surface d'un tétraédre régulier à partir de la dérivée de son volume par rapport au coté des triangles

[Raph8731]

C'est bon! j'ai la réponse pour l'histoire de la sphère!

Il fallait d'abord se poser la question : pourquoi la surface de la sphère est égal à 4 fois la surface de cercles de mêmes rayons!!!
En effet : S(sphère) = 4piR² = 4 x (piR²) et A(cercle) = piR² .
La réponse est parfaitement détaillé dans la vidéo suivante : https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8

Je vais tenter d'en faire un résumé :
* On prend une sphère de rayon R dans un repère orthonormé (x, y, z).
L'astuce consiste à lui associer le tour d'un cylindre de même rayon et de hauteur 2R (je vous conseil de voir la vidéo pour visualiser ça) sans les deux extrémités (les "couvercles").
* Il faut pouvoir désormais prouver que la sphère et ce cylindre ont la même surface.. Il faut pour cela découper la sphère en de minuscule rectangle coller les uns aux autres (boule à facettes) et s'imaginer leurs projections sur une distance R depuis l'axe z (il faut s'imaginer que l'axe z est un néon dont on peut choisir quelle partie s'allume mais dont l'axe de diffusion de la lumière est toujours perpendiculaire à l'axe).
Si on s'intéresse à une facette f de la sphère à une distance d de l'axe z de largeur L(f) et de hauteur h(f) (la hauteur de la facette tendant vers l'infiniment petit, la différence entre d en bat de la facette et d en haut de la facette tend vers 0, on peut donc considérer que d n'a qu'une seul valeur), la projection de cette facette sur une distance R de cette facette f se transforme en une nouvelle facette f' de largeur L(f') = L(f) x R/d et de hauteur h(f') = h(f) x d/R. La surface de f' est S(f') = L(f') x h(f') => S(f') = L(f) x (R/d) x h(f) x (d/R) = L(f) x h(f) = S(f). Donc cette nouvelle facette f' sur le cylindre et la facette f sur la sphère ont la même surface!
Par ailleurs: Qu'on face des facettes de manière grossière ou qu'on en fasse un grand nombre, l'égalité entre S(cylindre) et S(sphère) est toujours conservé. On en déduit que cette égalité est donc toujours vraie pour une sphère parfaite (sans les facettes) et le cylindre parfait (idem).
* Ceci étant fait (la route est longue) il faut "déplier" le cylindre, ont obtient donc un rectangle (comme quand on découpe un rouleau PQ et qu'on l'étale par expemple ) de largeur L = 2R et de longueur l = 2piR, donc de surface S = l x L = 4piR² (Oufff on retombe sur nos pattes, encore heureux!! Mais on a toujours pas fait le lien).
Nous allons donc maintenant séparer ce rectangle en deux rectangles de largeur R et de longueur 2piR (donc le plus grand divisé dans le sens de la longueur) donc de surface 2piR². Maintenant découpons ces rectangles en deux par leurs diagonales, nous obtenons donc 4 triangles rectangles de hauteur h(t) = R, de longueur l(t) = 2piR et de surface S(t) = 2piR²/2 soit S(t) = piR² (la surface d'un cercle de rayon R!). On peut donc s'imaginer qu'on "enroule" ces triangles rectangles autour de leurs hauteur h(t) = R et qu'on retombe sur le cercle associé. ça, c'est juste pour pouvoir se l'imaginer, mais au fond, c'est ça que je cherche! .
Ici, on remarque que ces triangles sont en fait parfaitement égaux (forme et surface) à l'intégrale du périmètre du cercle de rayon R de 0 à R : ∫(0->R) (2πR .dR).
En effet, en mettant la hauteur h(t) sur l'axe des x et la longueur l(t) sur l'axe des y (~ donc h(t) = x et l(t) = f(x)) on voit que l’hypoténuse du triangle et confondu avec le graph de la fonction f(x) = 2πx.
C'est là qu'on arrive à la fin du raisonnement :
Il faut pouvoir s'imaginer qu'en superposant les surfaces de sphères de rayons dérivant / variant de 0 à R en "oignons" on obtient le volume de la sphère de rayon R.
On fait la même chose avec les périmètres de cercles ayant des rayons dérivant / variant de 0 à R pour obtenir la surface de ce cercle. C'est bien pour ça qu'on parle de "dérivé"!!
Donc il parait maintenant logique que la dérivé de la formule de la sphère S(sphère) = 4piR² soit égale à S'(sphère) = 8piR = 4 x 2piR donc 4 fois le périmètre de cercles de rayons R!!!!

J'en profite pour faire un petit rappel aux gens qui ont le bout des doigts qui frétillent quand ils voient une question que quelqu'un pose sur un forum (tout ces gens pour qui il faut mieux une réponse rapide et vide plutôt qu'une réponse tardive mais complète). Veuillez trouver ci-dessous un protocole à mettre en place avant de donner une réponse :
1 - As-tu bien compris la question? (Si oui, passer au 2, Si non, voir "réponse alternative")
2 - As-tu réellement bien compris la question? (Si oui, passer au 3, Si non, voir "réponse alternative")
3 - As-tu une réponse approprier? (Si oui, passer au 4, Si non, voir "réponse alternative")
4 - Est-elle réellement approprier? (Si oui, passer au 5, Si non, voir "réponse alternative")
5 - Rédige ta réponse, puis voir 6
6 - Si la personne te dit que ce n'est pas la réponse attendu, voir "réponse alternative", sinon, tu a réussi à apporter une réponse correct, bravo!!
réponses alternatives : Tu peut tout de même désirer participer à la conversation, soit le bienvenu!! Mais il y a quelques règles à respecter:
1 - reconnais que tu ne sais pas apporter la réponse mais seulement des pistes de réflexions.
2 - bannit toutes réponses non argumentées ("c'est comme ça", "parce que", etc..).
3 - sois ouvert aux autres propositions et aux critiques de tes apports.
4 - quand quelqu'un montre que tu t'es trompé, ne le prend pas pour personnel, on s'attaque aux raisonnements, pas à toi.
5 - enfin, si cela ne nuit pas au raisonnement, ne t'attarde pas sur la forme de la question (si ça n'a pas d'incidence de dire le crayon "à" untel, pas besoin d'en faire un commentaire). Les gens qui n'ont pas tout les outils pour communiquer parfaitement on également le droit de raisonner sans qu'on les reprennent sur chaque phrases....

M'enfin..

Pour ce qui est de la question sur la dérivé du volume du cube, j'ai une piste mais je n'en suis pas convaincu. J'attends d'être plus sûr pour écrire dessus.

Salut à toutes et à tous!! Et bonne journée

[jacknicklaus]

Pour ce qui est de la question sur la dérivé du volume du cube, j'ai une piste mais je n'en suis pas convaincu. :

Bonjour,

je te propose un prototole avant de poser une question :

1° regarder si la réponse est pas déjà donnée en post #5
2° si oui, lire et essayer de comprendre
3°a si compris, fin, on remercie le posteur du #5.
3°b sinon, demander des éclaircissements en rapport avec ce post #5


cordialement