Exercice dénombrement

[Marmus1021]

Bonjour à tous !
Je m’entraine sur le dénombrement en ce moment, mais malheureusement les exercices que j’ai fait ne sont pas corrigés. Pourriez-vous valider mes réponses ou me dire les endroits où j’ai faux ? Merci

Dans le passé, chaque classe du lycée cantonal devait avoir une délégation de trois élèves : un délégué, un suppléant du délégué et un laveur de tableau. Une classe est composée de 11 filles et 3 garçons.
a. Combien y a-t-il de délégations possibles ?
Combien y a-t-il de délégations possibles...
b. si le délégué et le suppléant doivent être de sexe différent?
c. si le laveur de tableau doit être un garçon ?
d. si les deux sexes doivent être présents dans la délégation?

A. Selon moi, c’est A(3,14) = 2184
B. 11*3*12 = 396
C. 3*A(2,13) = 468
D. 11*3 + 110*3 = 363

Maintenant que je l’ecris, je ne suis plus sûr du tout... J’ai fait des partitions comme avec les combinaisons.
-----

[gg0]

Bonjour.

Le B est faux. Essaie de rédiger, d'expliquer comment tu formes la délégation dans ce cas. La justification de A serait aussi utile.
Pour le D, sans explication, je ne te crois pas.

Cordialement.

[Marmus1021]

A - Il y a 14 élèves au total. Donc le nombre de délégations possibles correspond à l’arangement de 3 élèves parmi les 14.
B - Je pense qu’il faut choisir 1 fille parmi 11, puis 1 garçon parmi 3. Ensuite on choisit parmi les 12 restants une autre personne. Mais je ne vois pas quel calcul faire alors...
C - Cette réponse-ci est-elle bonne ?
D - Je me suis dit qu’il y avait 2 cas : soit 2 filles et 1 garçon, soit 1 fille et 2 garçons. Donc cela fait A(2,11) * A(1,3) + A(1,11) * A(2,3)...

[gg0]

Pour le B, pourquoi choisir en premier une fille ? le délégué est-il obligatoirement une fille ?
Pour le C, si tu n'as pas une bonne raison (que tu pourrais écrire), il te faut refaire la question pour savoir pourquoi tu écrirais cela.
Pour le D, comme ppour le B, tu oublies qu'il faut leur attribuer des postes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Pour le D, tu peux choisir de faire "dénombrement total" - "dénombrement défavorable ( unisexe)"

[Marmus1021]

Pour le B, j’utilise bien des arrangements pourtant, et les arrangements prennent en compte tous les cas où les ordres dans la délégation sont différents ? Non ?
Ou alors je n’ai pas compris grand chose...
Et pour le C c’est pareil, il faut choisir pour être laveur, et donc je multiplie 3 par l’arrangement A(2,13) puisqu’il faut ensuite choisir 2 filles en prenant compte de l’ordre.

Pour la D, si je fais avec «*dénombrement total*» - «*dénombrement défavorable*», j’obtiens : A(3,14) - ( A(3,11) + A(3,3) )
Cela fait 1193, mais je ne sais pas pourquoi, je sens que j’ai encore faux

[invite51d17075]

Pour le B, j’utilise bien des arrangements pourtant, et les arrangements prennent en compte tous les cas où les ordres dans la délégation sont différents ? Non ?

non, dans ton calcul, tu présuppose que le délégué est une fille, donc tu oublies le cas opposé.

Et pour le C c’est pareil, il faut choisir pour être laveur, et donc je multiplie 3 par l’arrangement A(2,13) puisqu’il faut ensuite choisir 2 filles en prenant compte de l’ordre.

le résultat est bon, mais pas l'argumentaire, car une fois le laveur "garçon" choisi , il reste à en choisir 2 parmi tous les autres, pas uniquement les filles, sinon ce ne serait pas A(2,13) d'ailleurs.

Pour la D, si je fais avec «*dénombrement total*» - «*dénombrement défavorable*», j’obtiens : A(3,14) - ( A(3,11) + A(3,3) )
Cela fait 1193, mais je ne sais pas pourquoi, je sens que j’ai encore faux

Je n'ai pas vérifié le calcul, mais la formule est correcte.

[gg0]

Une réflexion sur le b :

Ici, il s'agit de compter, dans un cas élémentaire. Donc de voir comment on peut faire toutes les délégations, avec délégué et suppléant de sexe différent. Donc on va commencer par choisir un délégué. Il y a 14 possibilités, puis un suppléant. mais il doit être de sexe différent, et en comptant 14 on ne sait plus quel est le sexe. Donc on va faire 2 cas :
* une fille (11 possibilités) puis un garçon (3 possibilités) et enfin un des 12 autres comme laveur
* un garçon (3 possibilités) puis une fille (11 possibilités) et enfin un des 12 autres comme laveur.
Donc finalement 11*3*12+3*11*12 =792 cas.

Il vaut mieux réserver les arrangements quand ce sont vraiment des arrangements.

Cordialement.

[Marmus1021]

D’accord merci beaucoup pour toutes vos réponses ! Je pense avoir un peu mieux compris. Je vais essayer de trouver d’autres exercices de ce type.

[Marmus1021]

Tenez par exemple : Les douze tomes d'une encyclopédie sont rangés au hasard.
a. Combien y a-t-il de manières de les aligner sur une étagère ? Il y en a 12! puisque c’est une permutation ( cas particulier d’un arrangement ) .
b. Parmi ces classements, combien y en a-t-il où les tomes 1 et 2 se trouvent côte à côte
(dans cet ordre) ? Ça je dirais 11! ( on fixe les deux tomes comme si ils n’étaient qu’un objet puis on fait pareil qu’avant ).

Est-ce que le raisonnement est bon ?

[invite51d17075]

tu oublies qu'il peuvent être à gauche ou à droite l'un de l'autre.

[Marmus1021]

Mais ils disent «*dans cet ordre*» non ?

[gg0]

Effectivement, c'est correct.

[invite51d17075]

Mais ils disent «*dans cet ordre*» non ?

ça m'avais échappé, désolé !