Valeur maximale

[Houdini195]

Bonjour,
Comment prouver la valeur maximale de abc si a+b+c=1 et sont des réels positifs?
Merci par avance
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[danyvio]

Intuitivement, je dirais que a=b=c=1/3 alors abc=1/27 mais j'ai trop chaud pour aller plus loin...

[invite7b7f1ad0]

Bonjour,
Comment prouver la valeur maximale de abc si a+b+c=1 et sont des réels positifs?
Merci par avance

Réels positifs non nuls?

[invite51d17075]

bonjour, supposons qu'ils ne soient pas identiques et qu' il en existe un plus grand
a >=b ; c
b=ax ( 0<=x<=1 )
c=ay ( 0<=y<=1 )
abc=a³xy
la valeur max de xy est 1 car ils sont majorés par 1, et pour la même raison
x=y=1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fartassette]

Intuitivement, je dirais que a=b=c=1/3 alors abc=1/27 mais j'ai trop chaud pour aller plus loin...

pensez à la convexité... On reconnait immédiatement une AM-GM
a,b,c positif

donc

[invite51d17075]

bonjour farfassette :

pensez à la convexité... On reconnait immédiatement une AM-GM

au lycée ?

[fartassette]

bonjour ansset

avec égalité ssi.Les réels étant strictement positif. Inégalité citée peut se démontrer par croissance strict du logaritme naturel

[fartassette]

ex :C'est une IAG pour n=2

[Houdini195]

Merci beaucoup à vous!

[Black Jack 2]

Bonjour,

Méthode calculatoire ...

a+b+c=1
a = 1 - b - c

abc = (1 - b - c)b.c
abc = bc - b²c - bc²

f(b,c) = - b²c + b(c-c²) (avec b et c dans ]0 ; 1[)

On cherche les extrema de cette fonction de 2 variables.

point(s) singulier(s) si df/db = df/dc = 0 (devraient être des dérivées partielles mais je ne sais pas entrer le bon symbole.)
---> impose b et c = 1/3 et a = 1 - 1/3 - 1/3 = 1/3

On étudie la nature de ce point singulier (valeurs des dérivées secondes au point singulier)
B = d²f/(db.dc) = -1
A = d²f/db² = -2
C = d²f/dc² = -2

AC - B² = 4 - 1 = 3 > 0 ---> C'est un maximum.

abc max = (1/3)^3 = 1/27