fonction de NDOYE

[invited2b60f53]

soit f une fonction definie , continue et verifiant la relation (1):
(1):f(s+y)+f(x-y)= 2 f(x).f(y),quelque soit et y appartenat à IR.
1) determiner les fontions constante verifiant la rltion (1)
on suppose dans la suite que f est differente de ces fonction constante.
2) determiner f(0)et etudier a parité de f
le plan est muni d'un repere orthonormal(0,i,j)
3) on suppose que f admet une racine a.
a)montrer que I(a,o) est un centre d symetrie de la coube de f
b) en deduire que 4a est une periode de f .
c)montrer que f(4a) =1
d) montrer que si b est une periode de f alors f(b) =1.
ca reste 3 questions mais svp si vous pouvez m'aider à resoude ce probleme ....
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[invite8e9bfb01]

soit f une fonction definie , continue et verifiant la relation (1):
(1):f(s+y)+f(x-y)= 2 f(x).f(y),quelque soit et y appartenat à IR.

N'y-a-t'il pas une erreur dans l'énoncé:
(1):f(s+y)+f(x-y)= 2 f(x).f(y),quelque soit et y appartenat à IR.

Tu ne veux pas dire par hasard:
(1): f(x+y)+f(x-y)= 2 f(x).f(y) , quelque soient x et y appartenant à IR.
C'est important!!

[Jeanpaul]

ca reste 3 questions mais svp si vous pouvez m'aider à resoude ce probleme ....

A part la faute de frappe, ne nous dis pas que tu n'as pas su faire la question 1, quand même !

[invited2b60f53]

je m'excuse la fonction c'est f(x+Y)+f(x-y)=) 2 f(x).f(y) quelque soit x et y appartenat à IR.
j'ai fais la premiere question , les fonctions constantes sont 0 et 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cyp]

la 2) est facile aussi, sers-toi de la relation vérifiée par f en essayant de faire apparaître f(0) c'est pas bien compliqué [remarque on]Et avec bonjour au début du message ça marche bien (mieux ?) en général... [remarque off]
++ Cyp

[Jeanpaul]

Dans ce genre d'exo, il faut bricoler un peu, du genre essayer :
y = 0
y = x
y = -x
etc...

[invite8e9bfb01]

Bonjour,

Je me suis tardé à répondre suite à de mauvaises connexions.

Voilà, j'ai pu répndre aux questions

[invite8e9bfb01]

Bonjour,

Je me suis tardé à répondre suite à de mauvaises connexions.

Voilà, j'ai pu répndre aux questions

Ce message est incomplet car j'ai fait une erreur en appuyant sur Envoyer la réponse en voulant défiler la fenêtre vers le bas....

Voilà le message au complet:

Re-bonjour,

Voilà, j'ai pu répondre aux questions 1) , 2) , 3)a) et 3)c) seulement comme suit:

On a : f une fonction qui vérifie :

f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) . f(y) ........ (1) x , y réels quelconques.

1) Détermination des fonctions f constantes vérifiant la relation (1) donnée:

Dire que f est constante c'est dire qu'il existe un réel k tel que: f(X) = k quelque soit le réel X.

On a donc : f(x+y)=f(x-y)=f(x)=f(y)=k quelques soient les réels x et y.

En remplaçant dans la relation (1) on aura : k=0 ou k=1

2) Supposons que f est différente des fonctions constantes 0 et 1 (trouvées dans la question 1).

* Calculons f(0) :
Supposons y = 0 dans la relation (1) :
f(x+0) + f(x-0)=2 f(x).f(0) i.e : 2 f(x) = 2 f(x).f(0) et donc:
2 f(x) - 2 f(x).f(0) = 0 en mettant 2 f(x) en facteur commun on a:
2 f(x) . [1 - f(0)] = 0 ce qui implique : 1 - f(0) = 0 car f(x) est supposée non nulle (hypothèses)

et donc : f(0) = 1

* Etudions la parité de f :
On remplaçe maintenant : x par 0 dans la relation (1),
f(0+y) + f(0-y) = 2 f(0).f(y) i.e : f(y) + f(-y) = 2 f(y) car f(0) = 1
et par la suite on a : f(-y) = f(y) quelque soit y

Concluion: f est une fonction paire.

3) On suppose que f admet une racine a (ie: f(a) = 0)

a) Montrons que I(a,0) est un centre de symétrie pour la courbe de f:

Remplaçons, dans la relation (1), y par a:
f(x+a) + f(x-a) = 2 f(x) f(a) ce qui implique :
f(x+a) + f(x-a) = 0 car : f(a) = 0
et donc : f(x+a) + f(x-a) = 2 . 0
Conclusion : I(a,0) est un centre de symétrie pour la courbe de f.

En rappel: Pour démontrer que I(a,b) est un centre de symétrie pour la courbe d'une fonction f quelconque il suffit de démontrer que : f(x+a) + f(x-a) = 2 b quelque soit x.

c) Montrons que f(4a) = 1:

* J'ai d'abord calculé f(2a) de la façon suivante:
On suppose dans la relation (1) : x = y = a

f(a + a) + f(a - a) = 2 f(a).f(a) ie : f(2a) + f(0) = 2 f²(a)
et puisque f(a) = 0 , f(0) = 1 on aura : f(2a) = -1

* Calculons maitenant f(4a) :
Supposons dans la relation (1) : x = y = 2a on aura:
f(2a+2a) + f(2a-2a) = 2 f(2a).f(2a) et puisque : f(2a) = -1 , f(0) = 1 on a :
f(4a) + 1 = 2 (-1)(-1) et donc : f(4a) + 1 = 2

Et par la suite : f(4a) = 1

Pour les questions 3)b) et 3)d), je vais y réfléchir encore plus...

J'espère que mes (quelques) réponses sont compréhensives.

Merci

[invited2b60f53]

bojour
hbenalia, tes reponses sont bel et mieux comprehenssibles , claires et bien détaillées.je suis content de toi . maintenant je vai essayer de poster le reste du probleme

[martini_bird]

Bonjour,

je rappelle que ce forum n'est pas destiné à donner des solutions complètes : hbenalia a été bien sympathique de donner une bonne partie des réponses. Il serait néanmoins de bon ton de témoigner d'un minimum de travail personnel, piiwuus.

Pour la modération.

[invite8e9bfb01]

bonjour à tous

piiwuus, j'aurai aimé te faire la suite des questions, mais on t'as recommandé un travail personnel... néanmoins, je te donne quelques indications pour les questions 3)b) et 3)d) manquantes:

* question 3)b) : utilises les propriétés des deux sysmétries (axe des ordonnées -f paire et repère orthonormé- et symétrie par rapport au point I) .
- remarques aussi que le point I'(-a,0) est un centre de symétrie (f paire)

* question 3)d) : remplaces y par b dans la relation (1) et utilises la définition de la périodicité, je cite : f(x+b)=f(x) ; f(x-b)=f(x) et tu auras la réponse à la question..

Merci

Remarque pour les membres: je donne les réponses détaillées afin de connaître mes fautes, d'être corrigé surtout pour la méthode que j'utilise, c'est très important pour moi...