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Divisibilite de polynomes



  1. #1
    FredLC13

    Divisibilite de polynomes


    ------

    Bonjour,

    Je cherche a calculer a et b tels que [a.x^{n+1} + b.x^{n} + 1 ] soit divisible par (x+1)^{2}. Tout simple ce petit probleme de 1ere S des annees 80.

    J'ai tente plusieurs pistes sont la division euclidienne en esperant tomber sur un reste nul. le calcul est tres lourd et ne semble aller nulle part. J'ai egalement demarre une demonstration par recurrence mais les a et b en question ne sont pas des "constantes" apparemment, donc la recurrence n'a pas fonctionne car il aurait surement fallu que je fasse une hypothese sur les expressions de a et b en fonction de n. Enfin, j'ai egalement tenté par un developpement de Taylor mais le probleme etant issu d'un manuel de premiere S je me suis dit qu'il y avait surement une solution plus triviale, que je n'ai juste pas vu! Un peu d'aide (une piste de recherche) est bienvenue ... Merci
    Fred

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Divisibilite de polynomes

    Bonjour.


    Ton problème revient à montrer que -1 est une racine au moins double de a.x^{n+1} + b.x^{n} + 1 . On montre que a est une racine double du polynôme P si P(a)=0 et P'(a)=0.
    Je ne sais pas si on voit toujours ça en première S, mais ça se faisait autrefois en première S et même STI.

    Une autre méthode est de faire la division en utilisant l'algorithme de Hörner, mais on ne le voit sans doute plus trop en lycée.

    C'est un manuel actuel ?

    Cordialement.

  3. #3
    FredLC13

    Re : Divisibilite de polynomes

    Bonjour,
    Merci beaucoup ... En effet, je retrouve ce principe decrit comme un corollaire dans un chapitre appele "caracterisation de l'ordre d'une racine" d'un manuel recent MPSI. Le manuel d'ou est issu mon exercise est mon livre de premiere S (le manuel d'analyse de 1984). Ce qui est curieux c'est que le cours (toujours celui de 1984) ne mentionne pas du tout ce point concernant la racine de la derivee dans le cas d'une racine double dans le manuel, donc je ne sais pas comment les auteurs pensaient que l'etudiant de premiere de l'epoque allait pouvoir resoudre cet exo. Interessant que vous mentionniez Horner, car il etait effectivement propose en "activité thematique" en fin de chapitre, donc sans doute marginal au programme quand meme. Je ne me souviens pas l'avoir fait a l'epoque. Cette methode n'est pas mentionnee dans les manuels de 1ere S actuel (Spe Math desormais!)
    Encore merci de m'avoir lu
    Fred

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