Bonjour, dans un de mes exercices, je dois montrer que X^2+X+ 1 divise X^(3a)+X^(3b+1)+X^(3c+2)
Dans la correction de cet exercice, on me dit qu'il faut montrer que toutes les racines de X^2+X+ 1 sont aussi racines de X^(3a)+X^(3b+1)+X^(3c+2).
Ma question est donc, si le polynôme diviseur a les mêmes racines que le polynômes dividende, alors peut-on toujours dire que le diviseur divise le dividende?
Merci de vos réponses.
Non,
pas toujours : (x-1)² a comme seule racine une racine de x²-3x+2 mais ne le divise pas.
Sans compter que la question que tu poses n'est pas ce qui est utilisé dans ton corrigé. Tu t'exprimes de travers.
Reviens à ton cours et au lien racines / factorisation et tu comprendras pourquoi on t'a donné cette indication.
Cordialement.
edit : erreur
la confusion vient de "toutes les racines" avec "les mêmes racines". ( sens différent )
ps : les racines du premier polynôme sont j et j².
on peut aussi comprendre "les mêmes racines" par "toutes les racines"Envoyé par ansset
gg0 a donné le contre exemple.
une racine double doit être compté deux fois.
En fait, P divise Q si chacun des facteurs de P, compté avec sa multiplicité, divise Q. C'est une propriété qui est soit dans le cours, soit application immédiate d'un cours sur les polynômes. Et à priori, si on fait cet exercice, c'est à la suite d'un cours universitaire sur les polynômes.
Cordialement.
oui effectivement je n'avais pas pensé à ce cas en inversant le rapport des nombres de cas favorables sur le nombre de cas possibles.
A partir du moment ou on sait que tout polynome reel a une racine complexe et que toute racine donne lieu a un facteur de degre 1 (ce qui vu et admis au lycee si je ne m'abuse), cette propriete est evidente, pas besoin d'un cours sur les polynomes...
Heu ... non, ça ne suffit pas ! Sans compter qu'une racine peut être multiple, il faut au moins une propriété de factorisation et une unicité. Autrefois, on traitait ça complétement en première S et partiellement en première STI. Mais on ne voit plus ça au lycée.
Ne pas confondre les évidences qu'on a quand on a vu et revu ces propriétés avec la simplicité (fausse) de cette question. La difficulté de Come à écrire correctement son idée le montre bien.
Cordialement.
Voyons, je reprends ton enonce : "si chacun des facteurs de P, compté avec sa multiplicité, divise Q, alors P divise Q". Comme on travaille dans les complexes, les facteurs sont tous de la forme X-a, ce qui simplifie les choses : Q est un produit, ou les
Meme si ca ne demontre pas le cas general avec des facteurs premiers non necessairement de degre 1 (ce qui necessite en effet des arguments d'anneaux factoriels), ca a l'avantage d'etre comprehensible de A a Z par un eleve de premiere.
A vue de nez, tu supposes le résultat dans ta démonstration. Puisque tu utilises une écriture complétement factorisée. Ou tu as besoins d'admettre que tout polynôme se factorise entièrement en produit de facteurs du premier degré, ce qui n'était pas dans ton message #9.
J'ai fait ce genre de cours en première autrefois, si on voulait être strict, il y avait un ordre dans les théorèmes qu'il était difficile de changer.
Mais dans tout ça, plus de Come13.
Cordialement.
Si on admet que tout polynome complexe admet une racine, la factorisation en polynomes de degres 1 s'en suit : P=(X-a)Q, puis Q=(X-b)R, et comme a chaque etape le degre du dividende diminue on arrive a la factorisation complete en polynomes de degre 1. Je n'utilise pas l'unicite dans mon raisonnement de #11.
Bon c'est un peu tire par les cheveux j'avoue, mais ca tient la route.
Et si, cela repond a Come13, tant son exercice que sa question qui en decoule : si chaque facteur de degre 1 de P (complexe) avec son exposant, divise Q, alors P divise Q. Et dans l'exercice, comme les racines de P sont j et j^2, donc simples, il suffit de verifier que les racines de P sont racines de Q.
Ah,
mais cette réponse a déjà été donnée. Je disais seulement qu'il n'est pas revenu ...
Oui en effet il n'est pas revenu, mais malheureusement cela arrive assez souvent dans ce forum...
