Pourquoi a/b admet nécessairement une écriture décimale fini ou périodique?

[Matlabo]

Comment démontrer que si a et b deux entiers relatifs avec b différent de 0, qua la fraction a/b admet soit une écriture décimale finie ou bien périodique ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

En regardant la suite des restes dans la division posée. On voit qu'il y n'y a qu'au plus b restes possibles, donc qu'il arrive un moment où on reproduit un reste précédent, ce qui lance la périodicité.

Cordialement.

[Matlabo]

D'accord je m'imagine ça dans ma tête... mais vous pouvez donner plus de détails à l'aide de calculs ?

[danyvio]

D'accord je m'imagine ça dans ma tête... mais vous pouvez donner plus de détails à l'aide de calculs ?

Pose une division par ex. 10 : 7, et tu seras ébloui par la réponse de gg0

[A voir en vidéo sur Futura]

[Liet Kynes]

Comment démontrer que si a et b deux entiers relatifs avec b différent de 0, qua la fraction a/b admet soit une écriture décimale finie ou bien périodique ?

Merci

Le moment qui arrive décris par gg0 est un reste 0 pour l'écriture décimale "finie" par convention on arrête de diviser dés qu'il reste 0 mais on peut très bien écrire 10/2= 5.0000000... ou 10/16=0.62500000.... toute division d'un entier par un autre génère une suite périodique après la décimale.

[Matlabo]

Pose une division par ex. 10 : 7, et tu seras ébloui par la réponse de gg0

Oui je comprends mais je suis à la recherche d'une démonstration générale avec a et b...

[pm42]

Oui je comprends mais je suis à la recherche d'une démonstration générale avec a et b...

Et qu’on fasse ton exercice à ta place ?

[gg0]

Bonjour Matlabo.

J'ai répondu à une question. Pour une preuve, à toi de mettre en place la démonstration correspondante. Ce n'est que de la rédaction.
Si tu crains de n'être pas rigoureux, publie-la ici, on critiquera.

Cordialement.

NB : Tu sais faire une division à la main ?

[Matlabo]

Bonjour Matlabo.

J'ai répondu à une question. Pour une preuve, à toi de mettre en place la démonstration correspondante. Ce n'est que de la rédaction.
Si tu crains de n'être pas rigoureux, publie-la ici, on critiquera.

Cordialement.

NB : Tu sais faire une division à la main ?

Oui oui

D'accord je vais faire cela
et non c'est pas un exercice c'est juste pour avoir une bonne base...

[gg0]

On se ramène facilement à a >0, b>0 et a<b. L'idée est de multiplier le reste (a au départ) par 10 pour déterminer le chiffre suivant du quotient.

Bon travail !

[Matlabo]

Bonjour.

En regardant la suite des restes dans la division posée. On voit qu'il y n'y a qu'au plus b restes possibles, donc qu'il arrive un moment où on reproduit un reste précédent, ce qui lance la périodicité.

Cordialement.

Re-Bonjour;

J'y ai beaucoup réfléchis mais je n'arrive pas à le démontrer, et le problème c'est que je ne vois pas pourquoi il n'y a qu'au plus b restes possibles ?

Modification: j'ai pas vu le post #10 avant de poster ceci, je viens juste de le voir

[gg0]

Quand tu divises par b (supposé >0), c'est quoi un reste ?

C'est bizarre, dans ma classe de CM2, tout le monde comprenait ça, même ceux qui faisaient très souvent faux en divisant.

[Matlabo]

On se ramène facilement à a >0, b>0 et a<b. L'idée est de multiplier le reste (a au départ) par 10 pour déterminer le chiffre suivant du quotient.

Bon travail !

Oui on fait quelques divisions de a par b pour se ramener à ceci: a = bq + r avec r < b, puis pour avoir la partie décimale on divise le reste par b
ce qui donne à chaque fois
r = bq' + r' ==> avec q' de l'ordre de
puis
r' = bq" + r" ==> avec q" de l'ordre de
...etc

Ça saute peut-être aux yeux même trés certainement mais pourquoi il ne peut y'avoir qu'au plus b restes possibles ?

Encore une fois pas vu l'avant dernier post

[danyvio]

Oui on fait quelques divisions de a par b pour se ramener à ceci: a = bq + r avec r < b

plus précisément : a = bq + r avec 0<= r < b (en restant dans le cadre des nombres entiers positifs)
Cela suffit pour affirmer qu'il ne peut y avoir au maximum que b restes de 0 à b-1 What else ?

[Matlabo]

plus précisément : a = bq + r avec 0<= r < b (en restant dans le cadre des nombres entiers positifs)
Cela suffit pour affirmer qu'il ne peut y avoir au maximum que b restes de 0 à b-1 What else ?

Ah bah voilà merci c'est bien ce que je disais ça saute aux yeux

[danyvio]

Ah bah voilà merci c'est bien ce que je disais ça saute aux yeux

C'est de l'ironie ?

Si c'est le cas, révise les leçons sur : La division euclidienne"

[gg0]

Matlabo,

c'est assez désagréable d'essayer de t'expliquer, car tu ne veux pas faire ta partie de la compréhension. Pour que tu comprennes, comme ça se passe dans ton cerveau, il faut que tu acceptes de penser, de regarder ce qu'on te montre; par exemple ici, où il est question de restes, que tu regardes ce que tu dis toi-même de ce reste. Surtout sur des questions de niveau école primaire/début de collège !

[Matlabo]

De l'ironie? j'avoue Non.

Ok, c'est pas que je ne veux pas faire ma partie de la compréhension c'est que des fois je suis un peu lent pour comprendre des trucs.

[Liet Kynes]

De l'ironie? j'avoue Non.

Ok, c'est pas que je ne veux pas faire ma partie de la compréhension c'est que des fois je suis un peu lent pour comprendre des trucs.

Prends un stylo plus une feuille ou un tableur si tu n'arrives pas à te concentrer. As tu formulé cette question correctement ou avez tu vu autre chose de plus intéressant?

[Matlabo]

Oui.
Je suis partie sur une mauvaise piste, alors que la réponse était simple et devant mes yeux...

[Matlabo]

parti*