Pgcd

[inviteacbe94e1]

Bonjour, j'ai un exercice de maths mais je bloque:
a est un entier naturel tel que PGCD(a;28)=2 et PGCD(a;75)=5.
1) Combien valent PGCD(a;70) et PGCD(a;42) ?
2) Si a est plus petit que 200, combien y-a-t-il de solutions ?
merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Conformément aux règles du forum, à toi de commencer ton exercice. Que peux-tu déduire des hypothèses de l'énoncé ?

Cordialement

[inviteacbe94e1]

on sait que 2 et 5 divise a

[Lil00]

Poursuis ta réflexion : et donc que a est un … de …
Ensuite ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteacbe94e1]

a est diviseur commun de 70 et de 42?

[inviteacbe94e1]

on peut pas dire que PGCD(a;28)=2 et donc PGCD(a;42)=3 vu que 28=42*1.5, et la même chose pour 75 et 70?

[inviteacbe94e1]

PGCD(a;28)=2.

j'ai fait : 28=2*14 et donc a=2k donc : PGCD(a,28)=PGCD(2k;14*2)=2 donc PGCD(14;k)=1 et je n'arrive pas à conclure

[gg0]

on peut pas dire que PGCD(a;28)=2 et donc PGCD(a;42)=3 vu que 28=42*1.5, et la même chose pour 75 et 70?

Non ! La proportionnalité ne concerne pas les pgcd.

[gg0]

PGCD(a;28)=2.

j'ai fait : 28=2*14 et donc a=2k donc : PGCD(a,28)=PGCD(2k;14*2)=2 donc PGCD(14;k)=1 et je n'arrive pas à conclure

C'est normal, tu n'utilises qu'une hypothèse sur les deux. Va au bout de l'exercice, tu verras que le 3 proposé au message #6 est justement impossible.
Si tu connais la décomposition en facteurs premiers, tu peux connaître certains facteurs premiers de a, et certains premiers non facteurs de a.

Bonne réflexion ...

[inviteacbe94e1]

j'ai fait la décomposition des nombres proposés:
75=3*5*5
70=2*5*7
28=2*2*7
42=2*3*7
mais je ne sais pas quoi en conclure parce qu'ils n'ont pas un diviseur en commun

[inviteacbe94e1]

j'ai essayé de trouver les diviseurs commun de 28, 75, 70 et 42 et c'est 1, je ne sais pas si ça va nous servir

[inviteacbe94e1]

j'ai une question, à l'aide de ce que j'ai trouvé dans #10, et à l'aide de l'énoncé PGCD(a;28)=2 et PGCD(a;75)=5, on peut dire que le PGCD(a;70)=5 car on sait que 5 divise a et que 7 ne divise pas a sinon on aurait trouvé PGCD(a;28)=7. et pour le PGCD(a;42)=2 car on sait que 2 divise a et 3 et 7 ne divise pas a, sinon on aurait eu PGCD(a;75)=3 ou 7 et PGCD(a;28)=7, je ne sais pas si c'était clair

[Lil00]

C'est bien, ça commence à ressembler à un raisonnement logique
Y'a plus qu'à rédiger un peu clairement les étapes du raisonnement et tu auras fait la première partie.

[gg0]

Tu es sur la bonne piste, même si ce que tu dis est faux. Tu écris PGCD pour "diviseur commun". Cherche les diviseurs conn us de a, puis cherche les diviseurs commun à a et 70. Leur produit sera le pgcd.

[inviteacbe94e1]

les diviseurs connus de a sont 2 et 5
les diviseurs de 70 sont 1,2,5,7,10,14,35,70
les diviseurs communs sont 2 et 5, 2*5=10
PGCD(a;70)=10?

[inviteacbe94e1]

les diviseurs connus de a sont 2 et 5
les diviseurs de 42 sont 1,2,3,6,7,14,21,42
leur diviseur commun est 2 donc PGCD(a;42)=2

[gg0]

En se contentant des diviseurs premiers et complétant :
"les diviseurs premiers connus de a sont 2 et 5 mais pas ....
les diviseurs premiers de 70 sont 2,5,7"
Et en utilisant la décomposition en facteurs premiers :
a= 2*5* ... (éventuellement des facteurs premiers strictement supérieurs à 7), car a n'est pas divisible par 4 ou 7 (pgcd(a,28)=2) ni par 3 ou 25 (pgcd(a,75)=5); 42=2*3*7; le seul facteur commun est 2 donc pgcd(a,42) = 2; 70=2*5*7, les entiers 2 et 5 sont des facteurs communs, donc pgcd(a,70) =10.

Tu remarqueras que 42 et 70 ont été soigneusement choisis, on ne pourrait pas trouver le pgcd de a et de 44, par exemple.

Cordialement.

[inviteacbe94e1]

j'ai compris où vous voulez en venir, mais dois-je conclure quelque chose de ce que vous venez de dire?
peut-on trouver les valeurs de a, en disant que ce sont des multiples de 2 et de 5 en même temps, donc 10,20,30,40...

[gg0]

Si tu relis bien ce que j'ai dit, ça donne la possibilité de trouver les valeurs possibles de a; mais justement, pas 20 ou 30 : Tu n'as pas sérieusement lu !!

[inviteacbe94e1]

j'ai une question, pourquoi on peut pas trouver le pgcd de a et de 44, sachant que 44=2*2*11
et pour 20=2*2*5 et 30=2*3*5, donc je ne comprends pas pourquoi ça ne marcherait pas

[gg0]

Tu n'es pas allé au bout de la réflexion sur les hypothèses : PGCD(a;28)=2 et PGCD(a;75)=5. Elles donnent des facteurs de a, mais aussi le fait que d'autres facteurs ne sont pas possibles.
Et j'ai expliqué dans un message récent.

Pour 44, le problème est qu'on ne sait pas si a est divisible par 11 ou pas.

[inviteacbe94e1]

oui les facteurs premiers qui ne sont pas possibles sont 3 et 7,(4 et 25 qui ne sont pas premiers)
ah et 30=3*10 et donc pour 30 le 3 gène c'est pour ça que ça ne marche pas?
et 20=4*5 et ici c'est le 4 qui gène?

[inviteacbe94e1]

donc tout les nombres divisibles par 3,7,4 et 25, ne doivent pas être pris en compte?
non j'ai l'impression que c'est absurde ce que j'ai dit

[inviteacbe94e1]

je ne sais pas si c'est bon mais si j'utilise cette méthode on trouve 130 et 170 et 190 comme valeur de a (pour a inférieur à 200)
et si on décompose 130=2*5*13
170=2*5*17
190=2*5*19

[gg0]

Tu ne lis pas beaucoup les réponses qu'on te fait :
message #17 : "a= 2*5* ... (éventuellement des facteurs premiers strictement supérieurs à 7), car ..."

[inviteacbe94e1]

mais comment peut-on trouver les autres facteurs, je suis désolée mais là je suis vraiment perdue, je ne comprends pas

[inviteacbe94e1]

on peut essayer en disant que :
2*5*11=110 et ensuite on voit si PGCD(110;28)=2 (ce qui est vrai) la même chose avec les autres nombres proposés par l'énoncé
2*5*13=130 et ensuite on voit si PGCD(130;28)=2 (ce qui est vrai) "
2*5*19=190 ensuite on voit si PGCD(190;28)=2 (ce qui est vrai) "

[inviteacbe94e1]

ça marche aussi avec 17, mais est ce qu'on a le droit de mettre le même facteur 2 fois?

[gg0]

Je n'ai pas compris pourquoi tu laissais de côté 17.

"est ce qu'on a le droit de mettre le même facteur 2 fois? " Qu'est-ce qui l'interdit, si ce n'est pas 2, 3, 5 ou 7 ?

[inviteacbe94e1]

j'ai oublié de le mettre et je n'ai pas réussi à modifier mon message c'est pour cela