Combinatoires

[rapha779]

Bonjour à tous,

Je me permets de faire ce post car je bute sur une question et je n'arrive pas à trouver le pourquoi du comment...
La situation est classique : "On extrait simultanément 5 cartes d'un jeu de 32. Cet ensemble de 5 cartes est appelé une "main" "

Question: combien de mains contenant une paire (et seulement une paire) est il possible de former ?

La méthode 1 revient à faire le calcul 4C2 x 8×(28 × 24 × 20)/3!= 107 520

La méthode 2 consiste à calculer 4C2*8*28C3 auquel il faut retirer les possibilités de Full et de double paire
On trouve facilement que Combinaisons Full = 8A2*4C2*4C3= 1344 et Combinaisons Double paire =8C2*4C2*4C2*24=24192
Or 4C2 x 8 x 28C3 - 1344 - 24192 = 131 712 ce qui diffère du premier résultat.

J'ai l'impression que la solution 1 est la bonne, mais quelqu'un pourrait-il m'expliquer pour quelle raison la méthode 2 ne fonctionne pas ?

En vous remerciant grandement de votre aide
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[Kanieloutis]

Bonjour,

Pour ta 2 méthode de calcul tu as commis une erreur pour le nombre de "Double paire". On sait que dans un jeu de 32 cartes tu as 8 possibilités de choix d'une "familles" de paires possible composées de 4 cartes (par exemple tu choisis une paire parmi les 4 deux du jeu ou une paire parmi les 4 trois du jeu et en tout tu as 8 possibilités et pour chacune de ces possibilités tu dois choisir 2 cartes parmi 4) on a donc 8xC2,4 maintenant étant donné que nous avons fait un choix pour la première paire il nous reste 7 possibilités pour la deuxième paire et encore une fois pour chacune de ces 7 "familles" de paires tu dois choisir 2 cartes parmi 4. Nous avons déjà choisis 4 cartes jusqu'à présent il nous reste donc 1 combinaison de une carte à choisir parmi les 24 restantes ( 24 car on a retiré de 32 les 2 "familles" de paires qui ont déjà été prises --> 32-8 = 24). Ce qui nous amène le calcul total pour le nombre de double paires à : 8 x C2,4 x 7 x C2,4 x C 1,24... C2,4 = 6 , C1,24 = 24 on peut donc trouver le résultat : 8 x 6 x 7 x 6 x 24 = 48 384 doubles paires et non 24192 comme tu as trouvés.

Pour le nombre de full tu as la bonne valeur ... On a donc au total = 157248 - 1344 (full) - 48384 (doubles paires) = 107 520

Cordialement

[rapha779]

Bonjour, tout d'abord merci beaucoup pour ta réponse ! La seule chose que je ne comprends pas c'est que pour moi dans ton calcul de doubles paires tu prends en compte l'ordre, alors qu'ici avoir une paire de 2 puis une paire de 3 revient au même qu'avoir une paire de 3 puis une paire de 2.
Ta solution est très probablement bonne étant donné que ca permet de retomber sur le bon nombre, mais sais tu pourquoi dans cette situation on prend en compte l'ordre alors qu'on ne le fait pas habituellement ?

En effet, quand je recherche sur internet les solutions semblent indiquer que le nombre de mains avec une double paire est bien de 24192.

En tout cas merci pour ton aide car ca me prend vraiment la tête, même si au final je ne fais plus de combinatoires depuis bien longtemps !!

[Kanieloutis]

Bonjour,

Dans mon calcul de "doubles paires" je n'ai considéré à aucun moment un ordre. Ce qu'il faut bien comprendre est que les coefficients 7 et 8 que tu vois apparaitre dans mon calcul ne font pas référence à un ordre.

Cela peut porter confusion étant donné que dans des calculs d'arrangement on utilise souvent cela par exemple : si j'ai 3 sièges et 6 personnes (en tenant compte de l'ordre) j'ai alors 6.5.4 possibilités pour placer ces 3 personnes. Ici, effectivement j'utilise la notion d'ordre.

Dans le calcul de doubles paires ce n'est pas le cas ! Le coefficient 8 qui multiplie C2,4 me donne TOUTES les combinaisons de 2 cartes qui sont une paires que je pourrais avoir. Maintenant que tu as déjà une paire de deux cartes en main, tu veux en avoir une autre (on veut une double paire). Donc si tu veux avoir toutes les combinaisons de paires RESTANTES dans ton jeu de cartes APRES en avoir déjà une paire en main ---> Toutes les paires restantes après en avoir déjà une en main est 7 x C2,4.

A partir de ce point là, tu as déjà deux paires en main. Il faut une 5 carte pour avoir une "main". En enlevant les 8 cartes correspondant aux 2 familles des doubles paires que tu as déjà en main, 32-8= 24 cartes restantes (on enlève les 2 familles pour éviter de pouvoir retomber sur une de ces cartes et se retrouver donc avec un full). Toutes les combinaisons de une carte que je peux obtenir parmi les 24 restantes est bien C1,24.

Le produit de tout ça est bien le calcul désiré : 8xC2,4(TOUTES les combinaisons possible pour ta première paires) x 7xC2,4(TOUTES les combinaisons pour ta deuxième paire sachant que tu en as déjà une en main) x C1,24 (TOUTES les combinaisons de la dernière carte que tu pourrais piocher en ayant enlever des 32 cartes les deux familles de tes deux paires).

J'espère que cette explication est claire et ne t'embrouille pas plus..

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kanieloutis]

Rebonjour,

Je te prie de ne pas faire attention à mes deux réponses précédentes qui était complètement fausse !!! Je demandes au modérateur de bien vouloir supprimer mes réponses antérieures.

J'ai réfléchi au problème et je penses cette fois-ci y apporté une bonne réponse : Quand on regarde la deuxième méthode, tu commences par choisir une paire parmi les 8 paires possible et ensuite tu ôtes les 4 cartes d'ou provenait la paire et tu multiplies par l'ensemble des combinaisons de 3 cartes parmi les 28 cartes restantes (32 - 4 cartes d'ou provient la première paire) pour avoir une main de 5 cartes.

Si on analyse ce calcul d'un peu plus près : 8 x C2,4 x C3,28 , on se rend compte que la première partie du calcul 8xC2,4 calcule toutes les paires possibles de notre jeu de 32 cartes. Le nombre de paires possible est 48. Ensuite ces 48 paires possibles sont multipliés par toutes les combinaisons de 3 cartes que je peux faire parmi les 28 cartes restantes c'est à dire 3276 combinaisons de 3 cartes parmi 28.

Je vais prendre un cas précis pour mettre le doigt sur le problème. Prenons une paire au choix parmi nos 48, disons la dame de coeur et la dame de pique. Ensuite prenons une combinaison de 3 cartes au choix parmi les 3276 disons le roi de coeur, le roi de pique et le 10 de carreaux. C'est une combinaison de 5 cartes possible qui est comprise dans le calcul 8xC2,4 x C3,28

Maintenant prenons la situation inverse : Parmi les 48 paires le roi de coeur et le roi de pique y figure aussi. Et parmi les combinaisons de 3 cartes que je peux faire pour compléter ma paire de deux rois une des combinaisons possible est la dame de coeur la dame de pique et le 10 de carreaux.

Qu'est ce qu'on remarque ? On remarque que dans le calcul 8x C2,4 x C3,28 la combinaison dame de coeur dame de pique roi de coeur roi de pique et 10 de carreaux y figure DEUX FOIS. En faite, on remarque que toutes les combinaisons de 5 cartes où des doubles paires sont impliqués est compté deux fois au total. C'est pour cela que quand tu soustrais de 8xC2,4xC3,28 le nombre de full et le nombre de doubles paires, tu as encore 24192 en trop dans ton résultat final. Car étant donné que tu as compté les doubles paires deux fois et que tu les a retiré seulement une fois et bien il reste encore compté une fois dans le résultat final.

Du coup pour corriger ça soit tu changes de méthode soit au lieu de retirer une fois le nombre de double paire ( qui était bien 24 192) tu le retires deux fois (48384) et alors là tu auras bien le compte juste.

J'espère cette fois-ci avoir solutionné le problème..

[rapha779]

Bonjour Kaniel, je viens juste de revenir sur le post car je n'avais vu que le premier message du 23/01.
J'avais réussi à me sortir ce problème de ma tête, mais en y reréfléchissant ce soir je me suis dit que j'allais voir s'il y avait du nouveau sur mon post. Et en effet, tu viens de me donner la solution à ce doublement de paires ! J'avais pas pensé au fait que la même situation apparaissait 2 fois en fonction du choix initial de paire...
Alors merci beaucoup car je n'avais trouvé l'explication nulle part ailleurs dans mes recherches !! Bonne continuation à toi !!