Question sur la logique (universalité et implication)

[Marmus1021]

Bonjour ! Je me demandais si on pouvait transformer une universalité en implication ?
Imaginons l'énoncé suivant :
Soit un ensemble E, et une proposition P(x).
Montrer que ∀x∈E, P(x) est vraie.

Pour montrer quelque chose de ce type, on pose un x quelconque appartenant à E, et on montre P(x).
Est-ce que cela est équivalent, d'un point de vue logique, à démontrer que x∈E => P(x) ?
Pour donner un exemple concret, imaginons qu'on doit démontrer ceci : ∀x∈ ]-2,2[, x² > 4. Cela revient-il à montrer que x∈ ]-2,2[ => x² > 4 ?

Voilà merci d'avoir lu, ma question est peut-être stupide, mais comme je suis sur un chapitre de logique en ce moment, je me rends compte qu'il y a pleins de choses qui me paraissaient logiques qui ne sont pas finalement si évidentes que ça
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[Médiat]

Bonjour,

Montrer que ∀x∈E, P(x) est vraie.

Votre question est très intéressante, j'avais ouvert un fil sur ce sujet (la négation d'une telle formule), mais je ne le retrouve pas, alors je réexplique :

est une formule mal formée (et bien trop utilisée), il aurait fallu écrire

[Médiat]

J'ai retrouvé le fil : Petit, tout petit exercice de logique (futura-sciences.com)

[duduch74]

en quoi est une formule mal formée ? c'est pourtant comme cela qu'elle est enseignée en première année d'étude supérieur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

en quoi est une formule mal formée ? c'est pourtant comme cela qu'elle est enseignée en première année d'étude supérieur.

Si vous suivez les règles logiques de construction des formules, vous ne pouvez pas aboutir à cette formule ; les mathématiciens prennent des libertés avec la logique, comme les physiciens en prennent, parfois, avec les mathématiques.

Pour se convaincre, il suffit de voir que les règles de construction de la négation ne s'appliquent pas à cette forme.

[Tryss2]

Après, est-ce que l'on ne pourrait pas considérer ça comme une abréviation/sucre syntaxique?

Y a t'il un cas où on ne peut pas remplacer " " par "" ?

[Médiat]

Après, est-ce que l'on ne pourrait pas considérer ça comme une abréviation/sucre syntaxique?

Si, bien sûr, cela reste néanmoins une formule mal formée, et donc toutes les techniques logiques qui s'appliquent aux formules bien formées ne fonctionnent plus (prise de négation, forme prénexe, etc.)

Y a t'il un cas où on ne peut pas remplacer " " par "" ?

Pas que je sache

[duduch74]

cette formule n'est absolument pas mal formée. Sa négation s'écrit tout simplement .

C'est la base de la logique des prédicats que je vous conseille de réviser.

[Médiat]

1) cette formule est mal formée (vous savez ce que cela veut dire ? ), c'est trivial à vérifier, il suffit de lire les règles de formation.
2) je n'ai pas dit qu'on ne pouvait pas prendre la négation de cette formule, mais que les règles habituelles ne peuvent s'appliquer, ce qui est normal pour une formule mal formée

C'est la base de la logique, mais peut-être est-ce en lecture que vous avez des difficultés

[duduch74]

ah si c'est trivial alors... Mais alors allez y expliquez rigoureusement.
Dire que c'est mal formé est une chose. L'expliquer (au lieu de dire que c'est trivial) c'est autre chose.

[Médiat]

Mais je croyais que le sujet n'avait pas de secrets pour vous, en tout cas votre ton condescendant ne peut s'expliquer qu'ainsi.

[duduch74]

Evitez les inversions accusatoires. Vous dites que c'est mal formé, et répétez cette formule comme un perroquet.Cela signifie juste que vous essayez d'épater le public lycéen que cela dépasse. Alors expliquez. Sinon vous n'êtes qu'un perroquet.

[Médiat]

Vous avez raison, je répète sans relâche ce que les grands maîtres de la logique enseignent

Quant à "épater le public lycéen que cela dépasse", je trouve cela insultant pour les lycéens, mais nous parle de vous : épater des gens que l'on ne connaît pas sous un pseudo, personnellement, je n'en vois pas l'intérêt.

Pour les lycéens qui ne sont pas dépassés, mais intéressés, la règle de construction d'une formule bien formée (c'est une définition, pas un choix de mots personnel) avec quantificateur universel est :

Si est bien formée, et si est un symbole de variable, alors est bien formée (on peut ajouter des parenthèses.

Dans le cas de , il faudrait que soit bien formée, or est une relation binaire, c'est donc trivialement faux !

[duduch74]

c'est fou la façon dont il faut insister pour vous arracher un semblant de début d'explication... Le vocabulaire que vous employez n'est pas connu des lycéens, sauf exception, désolé pour vous si vous ne connaissez pas les programmes scolaires. Moi je les connais.

[duduch74]

je plains vos élèves si vous êtes enseignant. Vous utilisez du vocabulaire sans rien expliquer, et il faut lourdement insister pour que vous daignez octroyer une explication...

[Médiat]

Alors en fait vous ne connaissez pas la logique, dont vous vous sentez malgré tout autorisé à contester, ce que tout le monde sait, t compris le lycéen qui a posé une excellente question, à laquelle vous n'auriez pas su répondre, je plains vos élèves si vous êtes enseignant,

[Liet Kynes]

Triste échange, il faut dire que ce que vous tentez de faire passer Mediat demande une certaine disposition de l'esprit que peu de personnes possèdent et quand bien même ils la possède il faut du temps et de la concentration pour l'utiliser.
C'est en tout cas ce que j'ai compris dans nos échanges et j'avoue que n'ayant que très peu la disposition adéquate ni la capacité à la faire croître j'ai au moins l'impression d'apprendre toujours quelque chose à vous lire c'est déjà beaucoup que de gagner un pouillème de rigueur et de discipline dans sa manière de raisonner.
Et pour vous une patience qui n'a pas de limite.. bravo.

[syborgg]

c'est fou la façon dont il faut insister pour vous arracher un semblant de début d'explication... Le vocabulaire que vous employez n'est pas connu des lycéens, sauf exception, désolé pour vous si vous ne connaissez pas les programmes scolaires. Moi je les connais.

Pourquoi tant de haine ?... vous avez un précédent tous les deux ?..

[Médiat]

il faut dire que ce que vous tentez de faire passer Mediat demande une certaine disposition de l'esprit que peu de personnes possèdent

Peut-être, mais le lycéen qui a posé la question initiale, a été capable d'inventer la réponse, je n'ai fait que lui donner le cadre "officiel" de cette réponse.

[Médiat]

Pourquoi tant de haine ?... vous avez un précédent tous les deux ?..

Le message #8, grossier, surtout de la part de quelqu'un qui ne connaît pas le sujet.

[syborgg]

Le message #8, grossier, surtout de la part de quelqu'un qui ne connaît pas le sujet.

Oui certes, j'en conviens...

[Liet Kynes]

Peut-être, mais le lycéen qui a posé la question initiale, a été capable d'inventer la réponse, je n'ai fait que lui donner le cadre "officiel" de cette réponse.

Oui c'est bien ce que j'ai vu et ce cadre est plus que précis il est exact, cela me rappelle la fois ou je ne comprenais plus rien sur un sujet simple après avoir visionné des vidéos (de cours de prépa) avec des infos fausses.. une catastrophe et c'est en échangeant ici que j'avais pu retrouver le droit chemin

[albanxiii]

Evitez les inversions accusatoires. Vous dites que c'est mal formé, et répétez cette formule comme un perroquet.Cela signifie juste que vous essayez d'épater le public lycéen que cela dépasse. Alors expliquez. Sinon vous n'êtes qu'un perroquet.

Vous pouvez vous faire une idée, Médiat a écrit plus de 19000 messages sur le forum, lisez-les, ou au moins lisez quelques fils qu'il a lancé.


La règle que tout le monde devrait s'appliquer c'est de ne répondre à un fil que si cela apporte quelque chose de plus. Vous l'auriez appliquée, vous nous auriez épargné le message #8 et tout le triste spectacle que vous nous avez donné ensuite. A partir de maintenant, les messages à caractère non mathématique seront modérés.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Dans l'expression , le partage du entre le et le , me fait penser, de manière uniquement imagée, au partage d'une paire d'électrons entre deux atomes dans une liaison covalente

Maintenant, si au lieu de la notation infixée classique , on choisit la notation préfixée , l'expression devient , ... et là il y a un souci d'écriture avec le quantificateur universel qui n'a plus son symbole de variable qui devrait suivre juste après lui ... Cela revient au problème d'écriture évoqué par Médiat, juste présenté différemment


Cordialement

[Superbenji]

Bonjour,
D'une autre manière de voir les choses, c'est que le domaine de , c'est à dire les objets sur lesquels s'effectue la quantification, appliquée à la variable , est l'univers du discours tout entier (au premier ordre). Et c'est toujours le cas, par définition.
Maintenant, quand on regarde on pourrais avoir envie, intuitivement, de lire que la quantification ne s'effectue que sur un sous-domaine de l'univers, ici . Mais... Comment connaitre ? De plus, on utilise . Donc techniquement, il faut bien parcourir tout l'univers pour trouver les objets qui satisfont .
Ce qui au final nous ramène à l'écriture plus propre .

[Alphasaft]

Si est bien formée, et si est un symbole de variable, alors est bien formée (on peut ajouter des parenthèses).

Dans le cas de , il faudrait que soit bien formée, or est une relation binaire, c'est donc trivialement faux !

Je suis d'accord sur le fait que est un raccourci syntaxique, mais sauf erreur de ma part (ce qui est loin d'être impossible) votre démonstration est fausse, ou en tout cas mal formulée : vous dites que , or vous semblez en déduire que , ce qui pour moi est une erreur de logique, sinon on en déduirait de (il pleut) (le sol est mouillé) que
(le sol est mouillé) (il pleut), alors que je peux très bien être en train de laver ma voiture.

[Médiat]

Vous avez fait des erreurs en recopiant ce que j'ai écrit, néanmoins je pense comprendre le fond de votre remarque, sauf qu'ici on est dans le cas où il n'y a qu'une seule façon de mouiller le sol : il n'y qu'une seule façon d'introduire dans une formule bien formée, c'est d'écrire où est bien formée.

Une autre façon de le dire, c'est que ne peut pas être bien formée si ne l'est pas

[Alphasaft]

Je ne vois pas où est l'erreur de recopiage si ce n'est le manque de parenthèses au niveau de ? Si c'est bien ça, est-ce important ?
En tout cas, merci pour l'explication, je mourrai moins bête !

[Médiat]

Je ne vois pas où est l'erreur de recopiage si ce n'est le manque de parenthèses au niveau de ? Si c'est bien ça, est-ce important ?
En tout cas, merci pour l'explication, je mourrai moins bête !

Je n'ai jamais écrit

[Alphasaft]

Effectivement, une bête erreur de recopiage ! Je pensais bien évidemment à