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Aire triangle indépendant de la base



  1. #1
    epiKx

    Aire triangle indépendant de la base


    ------

    Bonjour a tous!

    L'aire d'un triangle est: . Comment montrer que ceci est indépendant du couple (base,hauteur) choisi? On peut invoquer une explication par des triangles semblables mais ensuite pour démontrer que deux triangles semblables ont leurs cotes respectifs proportionnels on le montre à l'aide de Thales qui lui-meme se demontre à l'aide des triangles semblables ou de la formule de l'aire d'un triangle... J'ai cherché du côté des principes fondamentaux de la géométrie de Hilbert mais j'avoue ne pas avoir très bien compris ce point ci.

    Merci d'avance de vos réponses.

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  3. #2
    danyvio

    Re : Aire triangle indépendant de la base

    Soit ABC triangle de base BC. Trace le rectangle de côté BC et de côté opposé à BC passant par A. AB et AC sont les diagonales de deux "petits" rectangles, chacun coupé en deux parties égales. Tu vois que le triangle a bien pour surface la moitié de celle du "grand" rectangle. Le fait de faire coulisser A sur le côté opposé à BC ne change rien. Inutile d'aller chercher Thalès ni Hilbert.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Aire triangle indépendant de la base

    Bonjour Danyvio.

    J'ai failli répondre comme toi, avant de comprendre que le problème n'est pas là, mais dans le fait que l'aire est bien la même si tu prends AB comme base à la place de BC. Bien entendu, si tu suppose l'aire définie de façon unique, le problème ne se pose pas. Mais ça revient à esquiver la question : Si H et K sont les pieds des hauteurs en A et C, pourquoi AH.BC=CK.AB ?

    Cordialement.

  5. #4
    epiKx

    Re : Aire triangle indépendant de la base

    Bonjour a tous les deux,
    Merci pour vos réponses. La solution a mon problème est dans l'excellent livre de Daniel Perrin: mathématiques d'école. Il y construit l'aire des parties bornees du plan. Il montre l'existence et l'unicité de l'aire. Cependant, pour construire l'aire il y a deux écoles: celle d'Hadamard-Hilbert et celle de Lebesgue. Daniel Perrin expose l'approche de Lebesgue. Je suis toujours à la recherche de la validité de la construction de Hadamard-Hilbert. On y définit l'aire a partir de la formule de l'aire du triangle . C'est ainsi qu'il faut comprendre la question. Pour moi, après quelques calculs fastidieux j'ai réussi a démontrer la formule de Héron à l'aide du theoreme de Pythagore. Ainsi le produit base×hauteur ne dépend pas de la base et est une constante du triangle! On voit ainsi que l'aire d'un triangle est liée au theoreme de Pythagore. Or pour démontrer Pythagore je ne connais pas de démonstrations n'utilisant pas au préalable la notion d'aire hormis de l'algebre avancée. Pour répondre à la question, Lebesgue quadrille le plan par des petits carrés de plus en plus serres. Je ne sais pas quelle est l'approche d'Hadamard.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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