Aire triangle indépendant de la base

[epiKx]

Bonjour a tous!

L'aire d'un triangle est: . Comment montrer que ceci est indépendant du couple (base,hauteur) choisi? On peut invoquer une explication par des triangles semblables mais ensuite pour démontrer que deux triangles semblables ont leurs cotes respectifs proportionnels on le montre à l'aide de Thales qui lui-meme se demontre à l'aide des triangles semblables ou de la formule de l'aire d'un triangle... J'ai cherché du côté des principes fondamentaux de la géométrie de Hilbert mais j'avoue ne pas avoir très bien compris ce point ci.

Merci d'avance de vos réponses.
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[danyvio]

Soit ABC triangle de base BC. Trace le rectangle de côté BC et de côté opposé à BC passant par A. AB et AC sont les diagonales de deux "petits" rectangles, chacun coupé en deux parties égales. Tu vois que le triangle a bien pour surface la moitié de celle du "grand" rectangle. Le fait de faire coulisser A sur le côté opposé à BC ne change rien. Inutile d'aller chercher Thalès ni Hilbert.

[gg0]

Bonjour Danyvio.

J'ai failli répondre comme toi, avant de comprendre que le problème n'est pas là, mais dans le fait que l'aire est bien la même si tu prends AB comme base à la place de BC. Bien entendu, si tu suppose l'aire définie de façon unique, le problème ne se pose pas. Mais ça revient à esquiver la question : Si H et K sont les pieds des hauteurs en A et C, pourquoi AH.BC=CK.AB ?

Cordialement.

[epiKx]

Bonjour a tous les deux,
Merci pour vos réponses. La solution a mon problème est dans l'excellent livre de Daniel Perrin: mathématiques d'école. Il y construit l'aire des parties bornees du plan. Il montre l'existence et l'unicité de l'aire. Cependant, pour construire l'aire il y a deux écoles: celle d'Hadamard-Hilbert et celle de Lebesgue. Daniel Perrin expose l'approche de Lebesgue. Je suis toujours à la recherche de la validité de la construction de Hadamard-Hilbert. On y définit l'aire a partir de la formule de l'aire du triangle . C'est ainsi qu'il faut comprendre la question. Pour moi, après quelques calculs fastidieux j'ai réussi a démontrer la formule de Héron à l'aide du theoreme de Pythagore. Ainsi le produit base×hauteur ne dépend pas de la base et est une constante du triangle! On voit ainsi que l'aire d'un triangle est liée au theoreme de Pythagore. Or pour démontrer Pythagore je ne connais pas de démonstrations n'utilisant pas au préalable la notion d'aire hormis de l'algebre avancée. Pour répondre à la question, Lebesgue quadrille le plan par des petits carrés de plus en plus serres. Je ne sais pas quelle est l'approche d'Hadamard.

[A voir en vidéo sur Futura]

[epiKx]

Pour ceux que ça intéresse je upload ce fil:
Il semble que j'ai mal interprété le travail de M Hilbert("fondements de la géométrie" disponible gratuitement sur wikisource) et de M. Hadamard (disponible en ligne gratuitement). Hilbert ne montre pas le théorème de Thales et évite ainsi tout raisonnement circulaire. De même pour Hadamard qui contourne le problème. Je pense en revanche que les 2 présentations admettent l'existence et l'unicité de l'aire des parties bornées du plan qui est démontrée dans "mathématiques d'école" de Daniel Perrin.

[max9973]

Bjr, belle question en effet, que je ne m'étais jamais posée.
Si on veut éviter de rentrer dans la construction de la mesure des parties quarables du plan,pour montrer l'existence de l'aire, on peut par exemple se baser sur la trigonométrie et le produit scalaire, qui ne dépendent pas du tout de l'aire.
Par exemple, on peut prouver la formule des sinus sans utiliser l'aire justement , en passant par la formule d'AL KASHI et en se servant de la relation sin^2 A =1-cos^2 A
On calcule ensuite sin^2 (A) /a^2 (a , b , c représentant les longueurs des côtés opposés aux sommets respectifs, A,B,C) , et on obtient , en factoriasant au maximum, une formule invariante par permutation des lettres a,b,c , ce qui permet d'aboutir à la formule des sinus (le sinus d'un angle inferieur à 180 étant positif, on se débarrasse aisément des carrés après) .
Une fois la loi des inus établie, la trigo permet de prouver rapidement que le produit hauteur x base EST le même pour tout les 3 couples (hauteurs ; bases ) du triangle