Arithmétique divisibilité

[Marmus1021]

Bonjour ! Pourriez-vous me donner un petit indice pour résoudre ce problème :
Trouver les entiers naturels n tels que n! divise nⁿ.

Voilà c'est juste cela, mais j'ai essayé pas mal de choses et je n'arrive vraiment pas à savoir comment il faut démarrer...
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[gg0]

Bonjour.

Pense aux facteurs premiers de n, qui sont aussi ceux de nⁿ.

Cordialement.

[Marmus1021]

J'essaye :
On a n = (p₁)^a₁ + (p₂)^a₂ + ... + (p_r)^a_r
Donc nⁿ = (p₁)^a₁n + (p₂)^a₂n + ... + (p_r)^a_rn. Or tous ces facteurs sont compris entre 2 et n-1.
Dans la formule n! divise nⁿ, on peut donc retirer de chaque côté les nombres premiers qui sont présents des deux côtés, jusqu'à ce qu'il ne reste plus que quelque chose de la forme K divise P, et on ne peut plus diviser P par K, donc ça ne marche pour aucun n j'ai l'impression
Par exemple, pour n=8 : on regarde si 2*3*4*5*6*7*8 divise 8⁸=2²⁴
On peut retirer à gauche le 2, le 4, le 6 et le 8, et on obtient 3²*5*7 divise 2¹⁷, ce qui est faux.

Mais je n'arrive pas à conclure sur quels entiers vérifient n! divise nⁿ. J'ai l'impression que seuls 0,1 et 2 fonctionnent tout de même.

[jacknicklaus]

J'essaye :
On a n = (p₁)^a₁ + (p₂)^a₂ + ... + (p_r)^a_r

+ ?


...............

[A voir en vidéo sur Futura]

[Marmus1021]

Non pardon je voulais mettre un signe multiplié bien sûr

[jacknicklaus]

Mais je n'arrive pas à conclure sur quels entiers vérifient n! divise nⁿ.

indice : s'il existe un entier p, strictement plus petit que n et ne divisant PAS n, alors trivialement p divise n! mais p ne divise pas nⁿ