Montrer par récurrence

[PsychoEnder]

je bloque sur cet exercice:

Montrer par récurrence que : ∀n ∈ ℕ* :
[77777....7]n fois = (7/9)*(10^n -1)

Merci d'avance!
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[gg0]

Bonsoir.

Il suffit de s'y mettre !
Qu'as-tu fait ?

[PsychoEnder]

j'ai fais:

on prend: n=1
7=7/9 * 10-1
7=7/9 * 9
7=7
donc Cette propostion est vrai pour n=1

On suppose que: [77777....7]n fois = (7/9)*(10^n -1)
Et montrons que: [77777....7]n+1 fois = (7/9)*(10^(n+1) -1)
et je bloque...
un peu d'aide svp?

[pm42]

Il y a sans doute un problème avec l'énoncé tel que tu l'as recopié parce que tu as d'un coté un entier, 7...7 n fois et de l'autre un rationnel non entier.
Il doit manquer une partie entière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Non, non, cela marche très bien (il suffit de l'écrire )

Pour PsychoEnder, il faut trouver comment on passe arithmétiquement de 7777..777 n fois à 7777...777 n+1 fois

[pm42]

Non, non, cela marche très bien (il suffit de l'écrire )

Ok, le -1 n'est pas là où je le pensais. Je l'avais vu dans la puissance. Effectivement, ça marche très bien.

[PsychoEnder]

Peut t'on écrire que?:
(7777...7)n fois=7+7*10+7*10².......+7*10^ n-1

[gg0]

Oui, et (7777...77) (n+1)fois = ....

Je disais "il suffit de s'y mettre", et je rajoute sans s'arrêter pour demander si ça va. Il n'y a rien de bien difficile ici. Va au bout ..