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montrer que (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²



  1. #1
    sassou77

    montrer que (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²

    bonsoir, je suis en première S
    Cela fait maintenant une heure que j'éssaye de monter que (p-a)²+p-b)²+(p-c)²+p² = a²+b²+c²
    avec p: (a+b+c)/2

    j'ai trouvé que:
    (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc
    =16a²+32ab+32ac+32bc+16b²+16c²-4a²+4ab+4ac+a²-4b²+4ab+4bc+b²-4c²+4ac+4bc+c²

    Est-ce que pour le moment cela est bon ? svp aidez moi je bloque arrivée là..

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Romain50700

    Re : montrer que (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²

    (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc

    Ca c'est juste.
    Après, je pense pas qu'il faille tout développer.

    4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4p² - 2p(a+b+c) +a²+b²+c²
    4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4((a+b+c)/2)² -2((a+b+c)/2)(a+b+c)+a²+b²+c²
    4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4(a+b+c)²/4 - (a+b+c)(a+b+c) +a²+b²+c²
    4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = (a+b+c)²-(a+b+c)²+a²+b²+c²
    4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = a²+b²+c² CQFD.

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : montrer que (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²

    On voit assez bien que la somme 4p² - 2p(a+b+c) permet de mettre 2p en facteur et que ça fait zéro.

  5. #4
    Duke Alchemist

    Re : montrer que (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²

    Bonjour.
    Citation Envoyé par Romain50700 Voir le message
    (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc

    Ca c'est juste.
    Après, je pense pas qu'il faille tout développer.

    4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4p² - 2p(a+b+c) +a²+b²+c²
    ...
    Pour compléter la réponse de Jeanpaul :

    Pourquoi ne pas remplacer (a+b+c) par 2p dès la première ligne ?
    On a
    4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4p² -2px2p + a²+b²+c²
    Et combien fait ce qui est en gras ?

    Duke.

  6. #5
    hhh86

    Re : montrer que (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²

    Citation Envoyé par sassou77 Voir le message
    bonsoir, je suis en première S
    Cela fait maintenant une heure que j'éssaye de monter que (p-a)²+p-b)²+(p-c)²+p² = a²+b²+c²
    avec p: (a+b+c)/2

    j'ai trouvé que:
    (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc
    =16a²+32ab+32ac+32bc+16b²+16c²-4a²+4ab+4ac+a²-4b²+4ab+4bc+b²-4c²+4ac+4bc+c²

    Est-ce que pour le moment cela est bon ? svp aidez moi je bloque arrivée là..
    Beaucoup plus simple :
    (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²-(a²+b²+c²)
    =(p-a)²-a²+(p-b)²-b²+(p-c)²-c²+p²
    =p(p-2a)+p(p-2b)+p(p-2c)+p²
    =p[3p-(2a+2b+2c)+p]
    =p[4p-4p]
    =0
    <=>(p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²=a²+b²+c²
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  7. A voir en vidéo sur Futura

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