Polynômes

[invite5e5e5e73]

Enfait j'aimerai qu'on m'aide et qu'on explique comment reussir a faire ces exos, voici l'énoncé :

Factorisation d'un polynome a l'aide de racines évidentes
(j'ai pas appris ce que c'était)

On considère le polynome P(x) = x^3-6x^2+11x-6
1/Vérifier que x=1 est une racine du polynome P
=> j'ai ecrit x^3-6x^2+11x-6
1-6+11-6=-5+5=0
2/Developper le produuit (x-1)(ax2+bx+c) detrminer les reels a,b et c pr que P(x)=(x-1)(ax2+bx+c) j'ai pas compris
3/Factoriser p(x) sous la forme d'un produit de trois polynomes de degré 1 (ça j'ai compris le sens mais j sais pas vraiment cmment faire)
4/En déduire les racines du polynome P

Après avoir trouvé une racine évidente (je ne sais pas c'est quoi), détrminer les racines de chacun des polynomes suivants selon la méthode précédente:
x^3+x^2-56x
(après y'en a d'autres mais je veux les faire seul car j'ai juste besoin d'un exemple et d'explications pr comprendre)

Division euclidienne de polynomes
On considere les polynomes P1(x)=x-1 et P2(x)=x2+9x-5. on chrche des polynomes Q et R vérifiant l'égalité P2(x)=P1(x) * Q(x)+R(x) avec R de degré inférieur à Q

1/ Quels doivent être les degrés des plynomes Q et R ? (j'ai compris mais je ne sais pas comment procéder)
2/on pose Q(x)=ax+bb et R(x)=c, développer lexpression (x-1) * Q(x)+ R(x), en déduire les rels a, b et c pour que x^2+9x-5=(x-1)*Q(x)+R(x)
3/Donner les polynomes Q et R cherchés

Les polynomes Q et R sont appelés quotient et reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1. Trouver dans chaques cas le quotient et le reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1:
P1(x)=x-2 et P2(x)=x2-3x+4
(après y'en a d'autres mais je veux les faire seul car j'ai juste besoin d'un exemple et d'explications pr comprendre)
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[Titiou64]

Salut,

Pour la première question, OK.
Pour la deuxième question, il faut que tu trouves a, b et c tels que les coefficients de x^3, x^2 etc soient les même que ceux de P(x)=x^3-6x^2+11x-6.
Pour la question 3, il faut trouver les racines du polynôme de degré 2 et factoriser.
Pour la question 4, il suffit de lire les 3 racines que tu as trouvé au 2 questions précédentes.


Pour le deuxième exo,
1) (x-1)*(x^n)=x^2? n te donnera le degré de Q.
PS : pour t'aider, regarde la qu.2

2) Même méthode que pour l'exo 1 =>identification des coef.

[invitea29b3af3]

1er ex:
1) ok
2) fais une division euclidienne de x^3-6x^2+11x-6 par (x-1)
3) factorise ce que tu trouves en 2) (c'est un polynôme du 2e degré)
4) elles sont évidentes une fois que tu as fais le point 3)

2e ex:
1) P1 est de degré 1 et P2 de degré 2. Tu multiplies donc un polynôme Q avec un polynôme de degré 1 et tu obtiens un polynôme de degré 2, donc de quel degré est Q? Tu peux ensuite immédiatement en déduire le degré de R
2) effectue le calcul en laissant les a,b et c. Ensuite tu égalise les termes de même degré. Par exemple, si tu as alors tu en déduis que , que et queet ça te fais 3 équ. à 3 inconnues.
3) coule de source une fois que tu as fait le 2.

[invite5e5e5e73]

g pas compris le 2) et 3) de l'exo 2 pouvait vous me rexpliquer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29b3af3]

On te dit que Q(x) =ax+b et que R(x)=c.
Fais ce calcul (x-1) * Q(x)+ R(x) (càd développe-le) en remplaçant Q et R par leur expression ci-dessus. Tu arrives à une équation du 2e degré avec des a, des b et des c. Ensuite tu égalises les coefficients devant les termes de même degré comme j'ai expliqué dans mon message d'avant.

[Titiou64]

On dit que Q(x)=ax+b et R(x)=c. Donc (x-1)*Q(x)+R(x)=(x-1)(ax+b)+c=...
ensuite tu égalises les coefficients avec x^2+9x-5 (par ex, a=1 car ax^2=1x^2 ; à toi de trouver les deux autres)
Ensuite, il te suffit de réécrire Q(x) et R(x) en remplacant a, b et c par leurs valeurs

[invite5e5e5e73]

re pouvez me reecrire ce que vous avez mis pr lexo 1 le 2) 3) 4) pour reexpliquer svp mrci davance