App bijective

[PsychoEnder]

Salut, je bloque sur cet exercice:

Soit f une application definé de ℝ-(-3) vers un ensemble B par:
f(x)=(2x-1)/(x+3)
Déterminer B pour que f soit bijective.

merci d'avance.
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[choom]

Bonjour.
Et si tu commençais par voir l’effet de f(x) sur plusieurs valeurs de x, petites et grandes, positives et négatives, proches ou lointaines de -3. Cela te donnerais déjà quelques idées sur ce qu’il conviendrait de vérifier pour éviter d’inclure dans B des éléments qui n’auraient soit aucun antécédents par f, soit qui auraient plus qu’un…
As-tu déjà appris la notion de limite ? Elle pourrait te servir.
A toi de jouer.
Choom.

[pm42]

Autre solution : tracer la courbe ce qui est très facile à faire avec les nombreux outils du Net. J'ai fait ça avec Wolfram Alpha et la réponse saute aux yeux.

[jacknicklaus]

Bien entendu c'est seulement une aide pour comprendre ce qu'i y aura à montrer. Ne mets pas dans ton devoir "on voit sur Wolfram que..." !

[A voir en vidéo sur Futura]

[PsychoEnder]

Salut,
on n'avait pas encore appris la notion de limite mais j'ai esseyé cet méthode:

on prend y appartient à B et y=f(x)
et on trouve x en fonction de y : x=(3y-1)/(2-y)
donc B est ℝ-(2) ?

[PsychoEnder]

et comment on utilise wolframalpha pour cet exercice? je l'avais jamais utilisé

[pm42]

et comment on utilise wolframalpha pour cet exercice? je l'avais jamais utilisé

Tu tapes ta fonction dedans, tu appuies sur la touche entrée et tu as la courbe.

[pm42]

et on trouve x en fonction de y : x=(3y-1)/(2-y)
donc B est ℝ-(2) ?

C'est un bon départ mais tu sais montrer rigoureusement que c'est bijectif de ℝ-(-3) vers ℝ-(2) ?

[PsychoEnder]

je dois écrire dans wolfram (2x-1)/(x+3) ?

pourquoi Mq c'est bijectif de ℝ-(-3) vers ℝ-(2) si on a déjà que f est bijective?

[gg0]

En fait, on ne sait pas vraiment ce que tu as fait, ce qui fait que ce que tu as écrit ne montre pas vraiment que tu as prouvé la bijectivité.

Cordialement.

[PsychoEnder]

donc comment la prouver?

[gg0]

Soit par la définition, soit par un théorème de ton cours.

[pm42]

Soit par la définition, soit par un théorème de ton cours.

Et on peut même ajouter suite à :

je dois écrire dans wolfram (2x-1)/(x+3) ?

donc comment la prouver?

qu'à un moment donné, tu es supposé faire un minimum d'effort et pas demander confirmation sans rien essayer ou "comment je fais" pour tout. Sinon, tu ne peux pas progresser.

[MOHAMED_AIT_LH]

Autre indication: Si on suppose que est une partie de tel que est seulement une application, est ce que, à ton avis, l'application est injective ?

[PsychoEnder]

salut,
je sais comment prouver qu'une fonction est bijective . mais je ne savais pas qu'on doit la prouver car la fonction est déjà bijective comme une information de l'exercice.
puis je continuer avec que B=ℝ-(2) et la prouver que la fonction est bijective?

[pm42]

mais je ne savais pas qu'on doit la prouver car la fonction est déjà bijective comme une information de l'exercice.

Dans l'énoncé que tu as donné, ce n'est absolument pas le cas.

puis je continuer avec que B=ℝ-(2) et la prouver que la fonction est bijective?

Est il vraiment nécessaire qu'à chaque étape, tu demandes confirmation de choses évidentes ?

[PsychoEnder]

ce que j'ai trouvé:
Soit y ∈ B
f(x)=y
⇔ y=(2x-1)/(x+3)
⇔ (un peu de calcul)
⇔ x=(3y+1)/(2-y)
donc 2 est une valeur interdite pour y
donc y ∈ ℝ-(2)
d'où B=ℝ-(2)
pour tout y dans B, il existe un unique x≠-3 tel que y=f(x)

Aucune remarque?
merci d'avance

[gg0]

Oh si !!

"Soit y ∈ B" On ne connaît pas B, on te demande de le "déterminer", c'est à dire de montrer qu'il existe une partie B de l'ensemble des réels qui convient. Tu pourrais partir de "supposons qu'un telle partie B existe", mais avant de pouvoir écrire "f(x)=y", il faudrait savoir que tous les f(x) sont dans ce B.
Ensuite, dans ton calcul, à un moment tu as dû diviser par 2-y, ce qui n'est possible que si y n'est pas 2. Or tu n'en savais rien.

En fait, dans ce travail, il peut y avoir 2 étapes :
* Une analyse, où on examine quel est l'ensemble des f(x) pour x réel. En reprenant ton calcul, on voit que y=2 n'est pas possible (*). On prend alors un candidat B avec B=ℝ-(2).
* Une preuve, où on part de B=ℝ-(2); et où ton calcul (avec la précaution x≠-3) montre qu'il y a bien une bijection de R-{-3}sur B.

Cordialement.

(*) L'équation d'inconnue x : (2-y)x=3y+1 n'a pas de solution si y=2. Et une seule sinon.

[PsychoEnder]

ok donc pour l'étape de preuve:
on construit la bijection réciproque de f. Nommons-la g:
g:
ℝ-(2) ----> ℝ-(-3)
y ----> (1+3y)/(2-y)

g(x)=(3x+1)/(2-x)

[gg0]

Si tu veux; mais je te rappelle qu'un calcul n'est pas ici une preuve, il reste à rédiger ... ce que tu n'as pas fait (ou mal : parler de réciproque avant de savoir qu'elle existe est malsain).

[PsychoEnder]

ahh oui tu as raison . je vais le rédiger avant déterminer le réciproque
merci pour ton aide!