Bonjour,
Je cherche simplement un moyen systématique (applicable informatiquement) de déterminer les points de discontinuité d'une fonction f continue par morceaux sur un intervalle [a;b] donné en ne connaissant que ses éventuelles dérivées par morceaux et sa réciproque.
Merci beaucoup !
Dernière modification par Alphasaft ; 15/02/2022 à 16h20.
J'ai oublié de préciser qu'on connait aussi bien évidemment les valeurs prises par la fonction elle-même en tout point où elle est définie !
Bonjour.
Ton rajout rend la question totalement inutile : Si tu connais toutes les valeurs, tu connais les limites au voisinage de chaque point. Là où il y a discontinuité les trois nombres valeur/limite à droite/limite à gauche ne sont pas toutes égales.
Pour la question de départ, sur chaque intervalle de dérivabilité, la fonction est continue (théorème vu en cours). Pour les extrémités d'intervalles, il faut regarder ce qui se passe : continuité ou discontinuité.
Pour l'instant, ta question est trop vague pour qu'on puisse t'aider plus. As-tu un exemple ?
Cordialement.
Bonjour,
Il faudrait préciser le problème. Tel qu'exposé, ton problème est absolument insoluble : Informatiquement, tu ne peux tester qu'un ensemble fini de points, un par un. Disons que deux valeurs consécutives testées sont 0 et 0.1. Rien ne te garantira jamais qu'il n'existe pas une discontinuité à 0.05.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
En réponse à gg0, non, la question n'est pas rendue inutile par le fait que chaque valeur puisse être connue (mais je me suis peut être mal exprimé) : puisque la question repose sur une application systématique et informatique du procédé permettant de déterminer les points de discontinuité, aucun ordinateur n'aura accès à toutes les valeurs puisqu'il en existe une infinité ; ce que je veux dire, c'est qu'il existe une fonction f utilisable par le programme renvoyant f(x) pour tout x. Et ça ne permet donc pas de déterminer les points de discontinuité, comme l'indique par ailleurs jacknicklaus (que je remercie pour avoir répondu).
Pour continuer sur le message de ce dernier, c'est pour ça que je demande : tester les points un à un n'est pas une option puisque comme tu l'as dit, on ne peut tirer aucune conclusion.
Je reformule mon message, qui était effectivement plutôt laconique (pour tout vous dire j'ai dû le modifier assez radicalement en moins de 5 minutes afin d'éviter à avoir à embêter l'administrateur).
Le but est de trouver un algorithme capable de trouver les points de discontinuité d'une fonction (qu'on peut assumer élémentaire). On a accès, pour tout n entier naturel, à f^(n) (y compris f elle-même).
Derrière, je veux "décomposer" toute fonction (je sais qu'il en existe des non-continues par morceaux, mais l'exemple le plus "simple" que j'ai trouvé en cherchant sur le web étant E(1/x), où E désigne la fonction partie entière, je me limiterai à celles continues par morceaux sans perte grave de généralité) définie sur un intervalle réel [a;b] en plusieurs fonctions continues sur leur ensemble de définition, afin de pouvoir leur appliquer des théorèmes utiles (notamment TVI) pour pouvoir trouver les racines de f.
Merci pour vos réponses et votre temps !
OK, c'est plus clair, mais seule la définition de f peut permettre de répondre. Pas l'utilisation (informatique) des valeurs de f(x). Donc il te faut un programme formel qui décortiquera l'expression de f(x) en fonction de x, la définition de f; qui repérera les conditions sur x pour appliquer telle ou telle valeur; qui repérera l'utilisation de fonctions définies par morceaux (comme E, la partie entière).
Cordialement.
Bonjour,
je vois pas bien où interviennent les dérivées nème de f dans ta question.
Tu ne pourras pas utiliser une série de Taylor de f pour détecter ses discontinuités, si c’est çà l'idée.
(Pire que celà, on a des fonctions C-infini qui ne sont pas égales à leur série de Taylor)
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Plus que ça : Si les f(n) existent, il n'y a pas de discontinuité. Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans cette demande. Pourrait-on avoir un exemple ?
Merci encore une fois pour vos réponses !
J'étais justement en train de réfléchir à cette possibilité (à vrai dire, je cherchais plutôt à trouver les valeurs de x dans [a;b] pour lesquelles f'(x) n'existait pas, ce qui est une condition nécessaire à l'existence d'un point de discontinuité en x, bien que non suffisante (mais je préfère en isoler trop que pas assez, d'ailleurs vu l'application que j'en fait cela ne pose aucun problème), et donc me permettrait de tous les repérer), mais je voulais l'éviter puisque, bien que théoriquement possible, ça allait prendre beaucoup de temps (de le programmer, mais aussi en termes de performances).
Cependant l'idée de repérer les fonctions discontinues dans l'expression de f me paraît bonne également, je vais donc tenter de mettre en oeuvre les deux et voir laquelle est plus simple/efficace.
Pour répondre à jacknicklaus, je ne voulais pas passer par là, puisque la série de Taylor permet une approximation locale par un polynôme (donc continu), et effectivement rien qu'à l'oreille on sent que ce n'est pas la bonne méthode ; je donnais juste les différentes données dont on disposait à propos de la fonction.
