Bonjour à tous,
J'aimerais montrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction croissante (de IR dans IR) est au plus dénombrable.
Je cherche donc à construire une injection vers un ensemble dénombrable sympathique, comme,
Quelqu'un aurait-il une petite indication ?
Merci d'avance,
Seirios
If your method does not solve the problem, change the problem.
je ne crois pas qu'on procède comme ça. On montre que sur l'intervalle [-n,n] pour n entier, la somme des "sauts" aux points de discontinuité est finie, et donc le nombre de points de discontinuité dénombrable. Et ensuite on a une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
Ce donc ne me paraît pas évident. Un argument ?On montre que sur l'intervalle [-n,n] pour n entier, la somme des "sauts" aux points de discontinuité est finie, et donc le nombre de points de discontinuité dénombrable.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Un topic qui pourrait t'intéresser : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=16210
J'ai trouvé par hasard une justification pour l'argument d'ambrosio (dans Topologie et Analayse de Skandalis). Il montre de manière généralise qu'une famille sommable dans un espace vectoriel normé a un nombre au plus dénombrable d'éléments non nuls. Dans
Soit
On en déduit que pour tout
Donc
If your method does not solve the problem, change the problem.
Sinon, chaque à chaque point de discontinuité a tu as une limite à gauche et à droite f(a+) et f(a-) qui sont distinct, tu peux donc choisir un rationel q_a entre les deux. a->q_a est une injection de l'ensemble des discontinuité dans Q...
très élégant!
Une petite précision : pas besoin de l'axiome du choixEnvoyé par Ksilver
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
ce que montre Ksilver c'est qu'une famille disjointe d'intervalles non vides de R est au plus dénombrable. Mais sans faire appel à la longueur cumulée des intervalles comme il me semble qu'on fait classiquement. C'est plus joli.
Dans mon souvenir la démonstration est bien basée sur l'extraction d'un rationnel dans chaque intervalle, sans faire intervenir de mesure.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Je ne pense pas, par exemple la fonction caractéristique des rationnels (qui n'est pas croissante bien sur), en chaque point, ne possède ni limite à gauche ni à droite.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour
Oui, sans l'hypothèse de monotonie, le résultat est clairement faux, c'est certain ! ...et la discontinuité est en tout point de R...
Ah bon, sans axiome du choix (dénombrable) ? Il y a-t-il un moyen canonique de choisir ces rationnels ??
Bonjour,
Ce n'est pas le point que je soulevais, mais cet exemple illustre que l'hypothèse de non continuité ne se traduit pas forcément par une limite à gauche différente de la limite à droite.
Oui, j'ai déjà abordé ce point sur FSG, en gros, pour trouver un rationnel dans ]a, b[, il faut trouver le plus petit n tel que n|b-a| > 1 (il en existe par achimédianeté de IR, et on peut choisir le plus petit dans IN sans axiome du choix), et en bidouillant on trouve un rationnel dans ]a, b[ (en faisant attention aux bornes).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est effectivement plus simple
Je ne suis pas sûr de voir de quel résultat tu parles...
If your method does not solve the problem, change the problem.
D'accord, je comprends : pour m/n dans [a,b] (où a<b), on prendre n = partie entière supérieure de 1/(b-a) et m = partie entière supérieure de na (par exemple).
Merci.
