Limite de sommes de Darboux

[Furinji]

Bonjour, qu'est-ce qui cloche dans mon raisonnement ?

L'énoncé : dar.png

Ma réponse (fausse) : darbouxx.png Darboux.png


Merci pour votre aide
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[Merlin95]

T'as pas un problème de conditions aux limites ? i commence pas à 0 ?

[Furinji]

i commence à 0 pour la somme inférieure et à 1 pour la somme supérieure, non ? Puisqu'on prend min[xi,xi+1] dans le premier cas et max[xi,xi+1] dans le second

[gg0]

Bonjour.

Le calcul est correct jusqu'à l'avant dernière ligne où tu fais une énorme erreur de calcul de limite !!

Cordialement.

NB : Je serais même curieux de comprendre comment tu as pu obtenir ce résultat, quelle est l'erreur dans ta tête. Moi, je ne vois pas.Des parties du calcul ont disparu sans raison.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Furinji]

Effectivement j'ai éliminé e^(b-a)/n au dénominateur comme s'il tendait vers 0 alors qu'il tend vers 1 ! Et pour les deux sommes. Erreur d'inattention

Mais du coup ça ne m'avance pas trop, je me retrouve avec aucun moyen (il me semble ?) de simplifier cette limite

A moins peut-être d'utiliser le quotient ( (b-a)/n ) / ( 1-e^(b-a)/n ) et d'utiliser l'Hospital ?

[Furinji]

Du coup si j'utilise la règle de l'Hospital j'ai :

lim n-->oo ( (b-a)/n ) / ( 1-e^(b-a)/n ) = 0/0

En dérivant le numérateur et le dénominateur j'obtiens :

(-1/n²) / (1/n²)*e^(b-a)/n)

= -1/e^(b-a)/n

= -1

Donc ma limite vaut -1 * e^a * (1-e^(b-a)) = e^b - e^a


y a-t-il un moyen d'y parvenir sans la règle de l'Hospital ?

[gg0]

Oui, avec la définition de la dérivée :
En posant

et on reconnaît au dénominateur le taux d'accroissement de en 0 dont la limite est la dérivée.

Autre façon, si on sait que

Cordialement.