exercice Premiere Spe Math probabilites conditionnelles

[yakitori]

bonsoir
j'ai besoin de votre aide pour la question 2 de l'exercice suivant (de Euler) que j'essaye de faire avec ma fille.
-------------------
Lorsque la rivière qui longe le village XXX déborde, la probabilité que la source du village soit polluée est de 0.25 le lendemain. Dans le cas où cette rivière déborde, un employé municipal est chargé de prélever et d'analyser un échantillon d'eau de la source.
L'analyse d'un échantillon n'est pas totalement fiable :
dans seulement 73 % des cas, l'analyse d'un échantillon contenant de l'eau polluée indiquera que l'eau est polluée.
dans seulement 79 % des cas, l'analyse d'un échantillon contenant de l'eau saine indiquera que l'eau est non polluée.
1- Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée polluée par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau est polluée ?
Bonne réponse ! Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée polluée par l'analyse effectuée, le maire a une probabilité égale à 0.46323529 de se tromper en déclarant que l'eau est polluée.
2- On suppose que pour diminuer le risque de se tromper, l'employé municipal est chargé de prélever 3 échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon.
Si l'eau contenue dans les 3 échantillons prélévés est déclarée polluée par l'analyse effectuée, quelle est alors la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau est polluée ?
(63/136)^3 mauvaise réponse, la bonne réponse est 0.066657869.
-------------
Je ne comprends pas pourquoi la reponse a 2 est fausse. La probabilite de faire 3 fois le meme resultat de probabilite P n'est-il-pas P^3?
-----

[Liet Kynes]

Bonjour,

Je ne répond pas au problème mathématique mais je me permet 2 remarques:

1 - ce problème n'est pas de Euler; pour son époque des analyses d'eau et des maires ??

2 - "On suppose que pour diminuer le risque de se tromper, l'employé municipal est chargé de prélever 3 échantillons d'eau de la source le lendemain et d'analyser séparément chaque échantillon." : L'énoncé donne une image fausse de ce qu'est un protocole expérimental.

[yakitori]

Le Euler en question c'est: euler-ressources.ac-versailles.fr
personne pour m'aider?

[gg0]

Bonjour.

Avec 3 analyses, et ce qui est proposé, on diminue la probabilité p de déclarer l'eau polluée lorsqu'elle l'est !!
Sur une analyse, p=0,73
Sur 3 analyses, p=0,73^3 soit environ 0,39.
Comme le dit Liet Kynes, ce protocole est idiot (et n'est jamais pratiqué). On utilise plutôt la règle : Si un des échantillons est donné pollué, on annonce "risque de pollution".
Autre absurdité : "dans seulement 79 % des cas, l'analyse d'un échantillon contenant de l'eau saine indiquera que l'eau est non polluée." ?? Avec 21% de faux positifs, autant ne pas faire le test. la première question le dit bien d'ailleurs.
Quel énoncé malsain !

Sinon, je veux bien aider pour la deuxième question, même avec cet énoncé idiot, mais qu'as-tu fait à la question 1 ? Et d'où sort ce 63/136 sans rapport avec l'énoncé ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yakitori]

merci pour votre reponse gg0
question 1:
P : l'eau est polluee
AP: l'analyse dit que l'eau est polluee
d'apres l'énoncé on a
P(P)=0.25
P_P(AP)=0.73 je note P_P(AP) la probabilite de AP sachant P soit la probabilite que l'analyse donne l'eau pour polluee sachant qu'elle est polluee
P_nonP(nonAP)=0.79
On cherche la probabilite que l'eau soit saine sachant que l'analyse la donne pour polluee soit P_AP(nonP)
P_AP(nonP) = P(AP inter nonP) / P(AP)
= (0.21 x 0.75) / (0.25 x 0.73 + 0.75 x 0.21)
= 0.4632352941
avec la touche mise en fraction ca fait 63/136

[gg0]

OK.

Mais pourquoi reprendre ce résultat qui ne parle pas seulement de l'analyse de flacon, mais aussi du risque de pollution de la source par la rivière ? On ne fait pas 3 inondations !!

Il suffit de reprendre le même travail après avoir calculé la probabilité que 3 analyses disent "pollué" dans chacune des situation (eau polluée, eau non polluée. J'ai d'ailleurs déjà fait le calcul d'un de ces deux cas.
On trouve une probabilité beaucoup plus faible. Malheureusement, la probabilité qu'elle soit annoncée polluée quand elle est effectivement polluée a aussi fortement diminué (11%) ce qui montre bien que cette méthode est idiote !!

[yakitori]

merci mais il n'y a qu'une reponse a la question 2
c'est le meme cas que pour 1 mais 3 fois de suite donc (P_AP(nonP))³ = 9.94%
n'est ce pas correct?
sauf que Euler dit que le resultat est 6.67%

[gg0]

Lis-tu ce qu'on t'écrit ?
II y a bien deux cas où le maire dit pollution. Tu as fait la question 1 donc tu le sais.

[yakitori]

question 1: Si l'eau contenue dans l'échantillon prélévé est déclarée polluée par l'analyse effectuée, quelle est la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau est polluée ?
question 2: Si l'eau contenue dans les 3 échantillons prélévés est déclarée polluée par l'analyse effectuée, quelle est alors la probabilité que le maire se trompe en déclarant que l'eau est polluée ?

ne demande-t-on pas la meme chose sauf qu'on fait le test 3 fois?

[gg0]

Non, ce n'est pas 3 fois la même expérience, il n'y a qu'une seule inondation.
Ce qui change, c'est comment on teste l'eau. C'est donc au deuxième niveau de l'arbre qu'il y a un changement.

[yakitori]

ah ok donc on fait 0.75 x 0.21³?
soit 0.006946

[gg0]

Je ne sais pas où tu en es, tu as tous les éléments pour faire cet exercice, je t'ai tout dit.

[yakitori]

Il suffit de reprendre le même travail après avoir calculé la probabilité que 3 analyses disent "pollué" dans chacune des situation (eau polluée, eau non polluée.

Si l'eau est polluee, la probabilite que 3 analyses disent pollue est 0.73^3 non?

[gg0]

Oui.

Je ne vois pas l'intérêt de prendre des petits bouts de réponse. Fais l'exercice complet, tu trouveras la bonne réponse.

[yakitori]

ok merci donc si l'eau n'est pas polluee, la probabilite que 3 analyses disent polluee est 0.21^3 soit 0.93%. N'est-ce pas la reponse a la question 2?

[gg0]

Ben non.

Je ne sais pas à quoi tu joues. Tu as tout ce qu'il faut pour faire le travail, mais tu ne le fais pas.
En tout cas, moi je ne joue plus.

[yakitori]

je ne joue pas j'essaye de faire l'exercice et je cherche et je ne trouve pas. J'esperais trouver un peu d'aide, de pateience et de pedagogie sur ce forum.
si tu pouvais me montrer la voie je pourrai peut-etre avancer.

[gg0]

La voie est indiquée message #6.
En complément, lire EXERCICES ET FORUM.