suites monotones

[Easyjet]

Bonjour,

Une suite est croissante si pour tous n dans N, u_{n+1}>= u_{n} ; et on peut aussi dire qu'elle est croissante à partir d'un certain rang n0 si avant ce rang elle était décroissante, et qu'à partir de ce rang elle est croissante. Donc ça veut bien dire qu'on sélectionne des rangs n pour définir où la suite est monotone. Mais dans le cas de la suite (-1)^n qui on le sait n'est pas monotone, peut-on dire qu'elle est croissante lorsqu'on passe d'un n impair à un n pair, et décroissante lorsqu'on passe d'un n pair à un n impair ? Merci.
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[gg0]

Bonjour.

la réponse est non. Il y a deux cas utiles d'utilisation de "croissante" :
* suite croissante : Ta suite ne l'est pas
* suite croissante à partir d'un certain rang. Définition : Soit u une suite. S'il existe un indice fixe N tel que la suite v donnée par v_n=u_N+n soit une suite croissante, alors on dit que u est "croissante à partir du rang N", ou "croissante à partir d'un certain rang", ou "ultimement croissante". Ta suite ne l'est pas.

L'intérêt de la notion de croissance est son caractère global, qui parle de l'ensemble des termes de la suite. Que (-1)³ soit inférieur à (-1)⁴ n'est pas une propriété de la suite, mais seulement des termes d'ordre 3 et 4.
De la même façon, ta phrase "on peut aussi dire qu'elle est croissante à partir d'un certain rang n0 si avant ce rang elle était décroissante" n'a pas de sens, puisque "décroissante" parle de toute la suite, pas des termes précédents. De plus l'ordre des termes avant n0 n'a aucune importance. La suite u définie par u_n=n est croissante à partir de n=5 (lire la définition ci-dessus. Elle ne parle pas de ce qui se passe avant N).

Cordialement.

[Easyjet]

Ok donc ça veut dire qu'on ne parle de monotonie d'une suite lorsque celle-ci implique tous les termes de la suite, ou éventuellement à partir d'un certain rang. Par exemple, on ne peut pas dire qu'une suite est croissante sur l'intervalle discret [1, 5] même si sur cet intervalle u_{n+1}>= u_{n}, et plus généralement sur des parties de N, mais que sur N tout entier, ou alors sur l'intervalle discret [No, +infini[ avec No un certain rang.

[gg0]

En fait, si on considère une suite finie, par exemple les u_i pour i variant de 0 à 5, on peut parler de suite croissante. Avec une petite variation de la définition, puisque u₅ n'a pas de successeur.
A utiliser avec modération, et absolument pas dans la définition de "suite croissante à partir d'un certain rang".

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]