espace vectoriel

[Abdellah7]

bonjour
E est un espace vectoriel sur K
K un espace vectoriel sur lui même
dans ces proposition K doit être commutatif ?
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[gg0]

Bonjour.

On peut définir la notion d'espace vectoriel sur des corps non commutatifs, mais comme tu ne donnes aucun contexte, difficile de répondre à ta question. Souvent, au niveau prépa/L1, les espaces vectoriels sont définis sur un corps commutatif, voire même seulement sur R ou C. Pour l'apprentissage de l'algèbre linéaire et 95% des applications, les espaces vectoriels réels ou complexes suffisent. Ensuite, on utilise des espaces vectoriels sur les corps finis, qui sont aussi commutatifs.
Donc je te renvoie à ton cours, à la définition d'espace vectoriel (K est ...).

A noter : On parle évidemment de la multiplication, l'addition dans K étant commutative.

Cordialement.

NB : Peux-tu être plus précis dans tes questions, donner le contexte, la partie de cours ou l'exercice ? Merci.

[Abdellah7]

merci beaucoup et on peut dire que un corps non commutatif est un espace vectoriel sur lui même ?

[gg0]

Attention,

pour un corps non commutatif, on peut définir deux sortes d'espaces vectoriels, suivant qu'on note la multiplication dans le sens habituel k.x ou inverse x.k; avec la non commutativité, les résultats sont différents.

Encore une fois : "Peux-tu être plus précis dans tes questions, donner le contexte, la partie de cours ou l'exercice ?"
J'ai l'impression que tu poses des questions sans bien les comprendre, comme si un forum était un distributeur de réponses, et si les maths étaient une collection de réponses.

Pour ma part, je ne répondrai qu'en sachant pourquoi tu poses la question (et pas "parce que je veux savoir")

[A voir en vidéo sur Futura]

[Abdellah7]

voilà l'image

[gg0]

Alors il faut lire : Il est dit dès le départ que K est un corps commutatif. Pourquoi venir poser la question ???

[Abdellah7]

est ce que tous anneaux commutatif est espace vectoriel puisque vérifie bien les axiomes d'un espace vectoriel ?

[gg0]

Bonjour.

N'aurais-tu pas oublié, dans l'apprentissage de ton cours, "espace vectoriel sur le corps K" ?
Soit (A,&,£) un anneau commutatif (la loi £ est commutative). Quel corps K utilises-tu ? Quelles lois ? Pour la loi interne, pas de problème, (A,&) est un groupe. Mais quelle loi externe . ? Et l'axiome d'anneau a£(b&c)=a£b & a£c (distributivité de £ sur &) n'a rien à voir avec k.(b&c) où k est un élément d'un corps dont tu as oublié de parler.

Évidemment, si ton anneau commutatif est en fait un corps, on revient à une situation connue. Cependant, on peut définir l'analogue des espaces vectoriels sur les corps avec la notion de module sur un anneau. Dans ce cas, on définit les notions de module à gauche et de module à droite, qui se confondent si l'anneau est commutatif.

Cordialement.

NB : Bravo de réfléchir aussi finement. Tant pis pour les erreurs, continue ...

[Abdellah7]

exmple de exemple de anneau commutatif non corps qui est un espace vectoriel : anneau de polynôme
exmple de exemple de anneau nom commutatif non corps qui est un espace vectoriel :L’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans un corps K est un espace vectoriel sur K
exmple de exemple de anneau nom commutatif non corps qui n'est pas un espace vectoriel :L’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans un corps K est un espace vectoriel sur L
exmple de exemple de anneau commutatif non corps qui n'est un espace vectoriel : anneau Z pourquoi? j'ai trouvé cette explication : (Un exemple est l’anneau des entiers relatifs Z. C’est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication ordinaires, mais ce n’est pas un corps car il existe des entiers non nuls qui ne sont pas inversibles. Par exemple, 2 n’a pas d’inverse multiplicatif dans Z. De plus, cet anneau n’est pas un espace vectoriel sur aucun corps car il n’a pas de dimension finie ) je n'ai pas compris le dernier point comment on parle de dimensions de Z ?
les exemples sont juste ?
NB : merci beaucoup pour votre aide c'est très sympa je te vois très active dans ce forum

[gg0]

Attention, tu restes bien trop flou, ce qui fait que, par exemple, ton premier alinéa est faux :

" exemple de anneau commutatif non corps qui est un espace vectoriel : anneau de polynôme " ?? Non, l'anneau des polynômes sur Z n'est pas un espace vectoriel. D'abord parce qu'il n'y a pas de corps en cause, ensuite parce que même en prenant le corps R des réels comme corps de base, il n'y a pas de structure conservant l'addition des polynômes et la multiplication habituelle des nombres comme loi externe qui donne une structure d'espace vectoriel. Même chose en prenant le corps Q des rationnels, ou le corps C des complexes.

Tu ne dois pas parler d'espace vectoriel sans notifier le corps de base qui donne la loi externe. donc il faut dire "espace vectoriel sur R" ou R-espace vectoriel. R est un R-espace vectoriel, C est un R-espace vectoriel, C est un C-espace vectoriel, R et C sont des Q-espaces vectoriels, etc.

Pour ta dernière question, je n'ai aucune idée de ce que ça veut dire, tu sors ça d'où ?

[Abdellah7]

Tout ça de bing
Pour le premier exemple on peut prendre l'ensemble de polynôme sur R est un espace vectoriel sur R
J'ai posé ses exemples afin de répondre à m'a première question d'aujourd'hui avec non