Aire sous la courbe

[Matt1627]

Bonjour, je sais que l'intégrale d'une fonction sur [a,b] est définie comme l'aire sous la courbe délimitée par l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b.

Mais je n'arrive pas à visualiser graphiquement pourquoi

Niveau calculatoire je vois le problème mais graphiquement je n'arrive pas à voir en quoi le signe nous importe que l'on prenne l'aire de a vers b ou de b vers a ? Quelqu'un saurait-il m'aider à le voir ?

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[Lil00]

Bonjour,

Fais l'exercice sur un cas très simple (du genre la fonction f(x)=x).

En fait, il suffit de comprendre qu'à gauche de ton équation, tu multiplies un nombre positif par un nombre positif, et à droite, un nombre négatif par un nombre négatif. L'aire est toujours positive.
b-a = - (a-b)

[Matt1627]

Merci pour votre réponse mais ma question portait sur l'aspect graphique. Après peut-être qu'on ne peut pas le voir graphiquement ?

[gg0]

En fait, l'histoire de l'aire n'est qu'une illustration pour débutant, et demanderait, pour être un objet mathématique, une définition préalable de ce qu'est l'aire. En général, on définit soit les aires très simples, soit les aires complexes par calcul intégral.
Revenons sur ce que tu disais : "l'intégrale d'une fonction positive sur [a,b] est définie comme l'aire sous la courbe délimitée par l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b." J'ai rajouté en gras un mot essentiel. Car l'intégrale de Pi à 2Pi de sin x est un nombre négatif (donc pas une aire) et la notion d'aire "sous la courbe" n'a pas trop de sens, en dessous de la courbe, il y a une aire infinie. Pour avoir une aire limitée, il faut prendre au dessus de la courbe.

Alors prenons une définition vraiment mathématique, par exemple les fonctions continues, ou continues par morceaux, ou plus généralement, qui sont des dérivées de fonctions dérivables entre a et b sauf peut-être en un nombre fini de points. Dans ce cas-là, si f est la dérivée de g,

Cette formule permet de définir l'aire sous la courbe de f (positive) comme égale à cette intégrale (si a<b). Et de définir des "aires algébriques" pour des fonctions négatives, ou changeant de signe. Mais elle ne dit pas que a<b. Alors :


Cette propriété montre bien qu'il ne faut pas prendre les intégrales comme des aires, mais seulement comme des nombres, même si, dans certains cas, on peut illustrer une intégrale comme l'aire d'une surface.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matt1627]

D'accord, je vous remercie pour votre réponse par contre je ne comprends pas lorsque vous dites: "en dessous de la courbe, il y a une aire infinie. Pour avoir une aire limitée, il faut prendre au dessus de la courbe." Pourriez-vous me détailler un peu plus ?

[gg0]

Fais un dessin. Sur cet intervalle, sin est négatif.

[Matt1627]

Ah oui d'accord vous parliez toujours de la fonction sinus. Merci beaucoup