La différence entre deux puissances : des nombres spéciaux

[Vat1n]

Bonjour,
Ces derniers temps, je me suis posé la question : soit a et b deux entiers naturels, i et j deux autres naturels mais supérieurs ou égaux à 2 ; Je sais que 1 = 3²-2³, que 2=3³-5², ainsi de suite ... jusqu'à 6. Là, je n'arrive pas à trouver. Le pire c'est qu'après 6, tout est nickel (7=4²-3², 8=3²-1²...) sauf encore à 14 où là je ne trouve pas non plus.

J'ai testé des algorithmes comme celui-ci :

for i in range(2,17):
    for j in range(2,17):
        for a in range(1,100):
            for b in range(1,100):
                if a**i-b**j==6:
                    print("OUI",a,"**",i, "-",b,"**",j)

-> Il ne me retourne rien car il n'a pas trouvé non plus

Je sais que les nombres impairs sont très faciles à décomposer en une différence de deux puissances (soit n ce nombre impair; il s'écrit ((n+1)/2)² - ((n-1)/2)²) mais les pairs sont plus difficiles à trouver.
Finalement, ma question est est-ce qu'il existe une écriture en différence de deux puissances pour 6 et 14 ? Si non, quel théorème dit ça ? Si oui, quelle est cette écriture ?
Mais si vous ne savez pas, dites ce que vous en pensez
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[Resartus]

Bonjour,
Vous pouvez facilement inclure les nombres multiples de 4.
Les cas compliqués sont 1 et les nombres de la forme 4K+2
Pour 1, il n'existe qu'une seule possibilité, celle que vous avez indiquée. c'est la conjecture de catalan, finalement démontrée en 2002 par mihailescu
Pour 2, on conjecture qu'il n'existe également que la possibilité citée.
Pour 6, 14, on ne connait pas de solutions à ce jour.

Et il existe une conjecture que, dans tous les cas, le nombre de solutions est toujours fini (et parfois nul, donc). C'est la conjecture de Pillai
Voir ce lien https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Catalan
qui fournit également quelques solutions pour quelques 4k+2

Je soupconne que des ordinateurs spécialisés très puissants ont dû aller très loin pour trouver (ou pas) ces solutions. Il semble peu probable qu'on puisse faire mieux avec des moyens amateurs...