Triangle inscrit dans un carré et angle inconny

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour,

Saurez-vous résoudre ce problème s'il vous plaît ?
https://ibb.co/h9RpFnk

Pour aide j'ai trouvé ce site qui propose une solution pour un problème similaire mais avec des mesures d'angles différentes :
https://dugastcollege.wordpress.com/...dans-un-carre/

Sauf que la solution que propose ce site : à savoir, en substance, créer un triangle GDF similaire à DFE dont on peut facilement calculer les angles; ne fonctionne pas avec nos mesures d'angles.

En effet on a sur le problème du site les angles GDE = GDA + ADF = FDE

Or sur notre problème on a déjà les angles ADF = FDE.
Donc on ne peut pas créer de point G comme sur le site : il n'y a pas de point G appartenant à la droite (AB) avec l'angle GDE = 40 et GD = DF.

Merci pour vos réponses !
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[RemDeba]

Bonjour,

somme des angles d'un triangle = 180°

Tu déduis de ça:
FDC=10°
ADE=40°
AED=50°

Je pose:
z=FEB
y=EFB
w= DFE

Tu peux écrire plusieurs relation:
x+z=130°
z+y=90°
w+y=100°
x+w=140°

On obtiens après résolution:
x=65
z=65
y=25
w=75

Si je me suis planté n'hésitez pas !

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour RemDeba,

Merci pour votre réponse !

Je vois que votre solution fonctionne mais pourriez-vous me dire comment avez-vous fait pour résoudre ce système d'équations s'il vous plaît ?

Quand j'entre ce système dans ce solveur en ligne, il ne trouve pas de solution :

https://www.wolframalpha.com/input?i...x%2Bw%3D140%22

[gg0]

Bonjour.

Le système
x+z=130°
z+y=90°
w+y=100°
x+w=140°
a aussi pour solution x=60°, y=20°, z=70°, w=80°; ou encore x=80°, y=40°, z=50°, w=60°; ou encore ...

Les quatre équations ne sont pas indépendantes. par exemple, par soustraction de la deuxième à la première, on déduit x-y=40° qui, ajouté à la troisième donne w+y+x-y=100°+40° qui est la quatrième équation.

Je note que nulle part n'est intervenu le fait que c'est dans un carré. Or si ce n'est pas un carré, la figure change, et si AB est nettement plus court que AD, le point E est sur BC.

Bonne réflexion !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour gg0,

Merci beaucoup pour votre réponse !

D'accord, donc il y a une infinité de solutions, vous avez trouvé ces solutions particulières en choisissant x arbitrairement ?

J'ai trouvé que x appartient à ]40; 130[

En effet si x =< 40, avec x - y = 40, on a y négatif ou nul ce qui n'a pas de sens.
y = EFB = 0 implique F appartient à (EB), donc EFB n'est plus un triangle rectangle et ça n'a plus de sens car on n'a basé notre système là dessus.

Pareil avec x >= 130, on a z négatif ou nul avec z = 130 - x
z = FEB = 0 implique E appartient (FB) et donc EFB n'est plus un triangle rectangle.


Pour obtenir ces équations, on n'a seulement utiliser la perpendicularité des sommets de ABCD et EFB rectangle en B avec E et F appartenant respectivement à [AB] et [BC].

Mais il est vrai qu'avec un angle CDE à 50° ça ne marcherait pas avec AB trop court par rapport à AD, on le voit visuellement même si ça n'apparaît pas dans l'équation.
J'ignore complètement comment cela pourrait apparaître.

J'ai trouvé la figure avec ces angles sans plus de détails sur un forum internet, mais je pense que c'est supposé être un carré et ça nous facilite la tâche de penser à ce cas spécifique.

Maintenant je me demande quels sont les cas que l'on peut résoudre avec la solution donnée sur le site dans mon premier message.
Je crois que les cas résolubles de cette manière sont des cas spécifiques mais peut-être que c'est l'inverse ?
Peut-être que l'on a ici un des rares cas avec une infinité de solutions, mais je ne pense pas, je pense que ça correspond à la plupart des cas.

Maintenant il y a un problème, même avec les angles du carré du site, on obtient un système d'équations dépendantes, or, avec de la géométrie on arrive à une unique solution x = 65°.
Cela signifie donc que ce système est faillible.
J'aimerais savoir pourquoi il est faillible mais on ne peut pas lui faire confiance pour résoudre ce problème.

[gg0]

J'ai effectivement résolu le système avec différentes valeurs de x.

"avec de la géométrie on arrive à une unique solution x = 65°." ?? Preuve ?

S'il y a bien une seule solution (*) ce système ne suffit pas à donner cette solution. C'est tout. Comme je le disais, il ne détermine pas la solution unique puisqu'il ne tient pas compte des longueurs.
Longueurs, angles, ça devrait te faire penser à la trigo du collège.


(*) ce que je crois tout à fait, l'angle FDC valant 10°, F est unique, puis FDE=40° fixe un unique E.

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Pour la géométrie la preuve est ici :
https://dugastcollege.wordpress.com/...dans-un-carre/


Mais ce sont des angles différents bien sûr.

Oui comme vous le dites, les points sont fixés avec les angles donc la solution devrait être unique, enfin cela dépend peut-être de la taille du carré aussi mais en tout cas avec la solution géométrique présente dans le site que j'ai posté au dessus, x vaut 65° quelque soit la taille du carré.

Mais il n'y a qu'une unique solution a priori.

Pour la trouver, si cela est possible, peut-être faudrait-il utiliser des formules de trigonométrie comme vous le suggérée ou alors on pourrait peut-être essayer quelque chose avec les complexes. Le plus élégant serait de passer par la géométrie mais je doute que cela soit possible.

[gg0]

1) Parler de la démonstration d'autre chose comme preuve est absurde. "avec de la géométrie on arrive à une unique solution x = 65°." est une absurdité. A parler d'un autre problème, tu perds ton temps (et le notre).
2) la "solution" proposée pour l'autre cas est incomplète, il manque la preuve que G est sur la droite (AB). Cependant, elle utilie bien le fait que ABCD est un carré.

[Resartus]

Bonjour,
Le calcul attendu est trigonométrique et ultrasimple (2 tangentes, un arctangente) et donne un résultat d'environ 51,053..°. Il me semble très improbable qu'on puisse retrouver un tel nombre par des méthodes uniquement "géométriques" (i.e. sans calculateur de fonction trig. )

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour,


Merci beaucoup pour vos réponses !


gg0 :

1) Excusez-moi, je montrais simplement qu'il y avait cette solution pour un problème similaire bien qu'il ne soit pas le même.

2) G est construit pour que les triangles ADG et CDE soient similaires avec les angles ADG et CDE égaux.
E est sur la perpendiculaire à (CD) passant par C
Donc G est sur le perpendiculaire à (AD) passant par A : (AB)

Ce n'est certainement pas une vraie démonstration mais je pense qu'il est possible de le démontrer d'une manière plus rigoureuse.


Resartus :

Ah d'accord intéressant, je vais creuser ça, merci beaucoup !

[gg0]

C'est bien ce qui manquait à la preuve que tu avais citée. Simplement on parle de triangles égaux ou isométriques.

La trigonométrie élémentaire permet de calculer BE et BF puis un angle de plus.

Cordialement.

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Ah d'accord, merci beaucoup pour ces précisions !