Les différentes formes du produit scalaire

[mgtoul]

Bonjour,
Je me place dans le plan.
Je me pose des questions concernant les équivalences entre les différentes formes du produit scalaire.

Si je prends pour définition du produit scalaire la formule de polarisation :

Question subsidiaire : que signifie le terme "polarisation" ?

Alors, on montre aisément qu'en considérant une base orthonormée du plan, où et . On obtient alors la forme analytique du produit scalaire.

La preuve consistant en une série d'égalités, on démontre une équivalence entre la forme de polarisation et la forme analytique.

Une fois que l'on a la forme analytique, il est trés facile de montrer que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Et enfin, pour obtenir la forme géométrique, on utilise la forme analytique dans la base où et est un vecteur unitaire, orthogonal à .

Ce qui montre que si (pour toute base orthonormée du plan, où et ) alors ().

Ma question est la suivante : comment montre-t-on la réciproque ?

Par ailleurs, dans les manuels scolaires, on peut trouver pour définition du produit scalaire, la forme géométrique puis on admet les propriétés du produit scalaire puis on montre l'identité de polarisation à l'aide des propriétés du produit scalaire.

Ce qui me gêne : les propriétés de produit scalaire (distributivité, etc...) ne se démontre pas simplement avec la forme géométrique, enfin il me semble ? alors qu'avec la forme analytique on n'a pas besoin d'admettre les propriétés puisqu'elles se démontrent aisément.
-----

[gg0]

Bonjour.

Tu as oublié une autre définition possible du produit scalaire dans le plan euclidien.
Si alors
Sinon A, B et C étant choisis de façon que

et H étant le projeté orthogonal de C sur (AB),


Cette définition était enseignée en première il y a 60 ans, servait à justifier les propriétés du produit scalaire et à redonner la formule avec le cos puis celle avec les coordonnées. L'usage des mesures algébriques était courant depuis au moins la troisième. Le fait que le résultat ne dépend pas du choix de A, ni du sens sur l'axe (AB) était facile à établir.

Cordialement.

[Merlin95]

Ce qui montre que si (pour toute base orthonormée du plan, où et ) alors ().

C'est bizarre de montrer les chose ainsi, le produit scalaire c'est avant tout un tenseur donc une forme bilinéaire symétrique, notamment.
Que ça donne : xx'+yy' dans une base orthornormée est une conséquence.

Ce qui compte c'est les relations géométriques entre 2 vecteurs, par exemple, si ils sont orthogonaux alors u.v=0, et sinon ≠0. Vecteurs opposés : u.v < 0, > 0 sinon, etc.
Mais partir de la bilinéarité, etc. pour arriver à une définition non adhoc d'un produit scalaire, je ne sais pas si c'est possible.

[ThM55]

Ma question est la suivante : comment montre-t-on la réciproque ?

Je ne suis pas professeur de mathématiques, mais je ne trouve pas très utile de montrer directement la réciproque. La démonstration n'est pas compliquée, mais elle utilise la connaissance préalable des propriétés du cosinus (cosinus d'une somme, d'un angle supplémentaire...). Et cette preuve sera plutôt ch... embêtante à écrire: il faut discuter les cas où le scalaire est positif ou négatif, il faudra tenir compte du cas où l'angle entre vecteurs dépasse pi, etc. Quelle horreur. C'est pas le genre de truc qu'on a envie d'écrire. Il est plus simple de définir le cosinus par le produit scalaire et ensuite d'en retrouver toutes les propriétés connues, ce qui fera un preuve tout aussi valable.

Pour l'égalité de polarisation, il faut comprendre que dans un espace normé (V, ||.||), la norme n'est pas toujours le résultat d'un produit scalaire. Il y a une égalité qui caractérise les espaces normés comme espace avec produit scalaire interne, c'est l'égalité du parallélogramme:

.

Si c'est vérifié, la formule de polarisation donne le produit scalaire et réciproquement. J'ignore pourquoi on lui a donné ce nom de "polarisation". Mais tentative d'explication (sous toutes réserves d'usage): en partant de la forme quadratique, on n'a finalement d'information que sur la diagonale (les formes <v,v> qui ne dépendent que d'un direction d'espace) et on en tire une information complète dans laquelle deux directions différentes <v,w> interviennent et le terme "polarisation" appartient à un champ sémantique qui contient des notions de changement de direction. Le critère du parallélogramme fait intervenir deux vecteurs, donc des directions différentes avec égalité, alors que la définition de la norme ne le fait qu'avec une inégalité (celle du triangle), donc imparfaitement.

Il y a de nombreux exemples en analyse fonctionnelle où la polarisation n'existe pas. Le plus simple est C([a,b]), l'espace des fonctions réelles continues définies sur un intervalle [a,b]. C'est un espace normé, il la norme du suprémum: il est facile de vérifier que est bien une norme. Mais elle ne vérifie pas l'égalité du parallélogramme et donc ne provient pas d'un produit interne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mgtoul]

Oui effectivement il y a la forme avec le projeté orthogonal.
Si on part de la forme géométrique avec le cos, on montre facilement la propriété de forme symétrique définie positive.
Puis on montre aisément également que cette forme équivaut à la forme avec le projeté orthogonal. Et effectivement avec la forme faisant intervenir le projeté orthogonal, on montre simplement que celle-ci est linéaire en sa deuxième variable; comme elle est par ailleurs symétrique on récupère la bilinéarité. On montre donc que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Ce qui nous donne les identités remarquables, encore appelées identités de polarisation (je n'ai toujours pas compris pourquoi le mot "polarisation") et la forme analytique s'obtient très facilement en décomposant les vecteurs dans une base orthonormée et en appliquant la double distributivité.

[Merlin95]

Polarisation car à partir de la norme de deux vecteurs, la formule donne des informations sur leur différences d'orientation* (puisque finalement la formule donne ||x||.|y||.cos(x^y)).
D'où le terme pompeux polarisation.

* l'idée étant de dire qu'on a des définitions de ce que sont un angle et une longueur qui incluent le même modèle intuitif de la géométrie euclidienne. On peut donc penser à faire de la géométrie sur des objets algébriques

[mgtoul]

Bonjour,
Je reviens vers vous car j'ai essayé d'écrire les choses proprement en utilisant les mesures algébriques et il y a quelque chose qui me gêne.
Si je veux définir le produit scalaire à l'aide du projeté orthogonal et des mesures algébriques, il me semble qu'il faille faire comme ceci :
On considère deux vecteurs et avec . Soient O, A et B trois points du plan tels que et .
Le produit scalaire de et est défini par où est le projeté orthogonal de B sur (OA).
Mon problème survient lorsque je cherche à montrer que .
En effet, j'introduirais alors un point C tel que et donc .
Ainsi par définition où est le projeté orthogonal de C sur (OA).
J'écrirais alors que et donc .
Mon problème est que est bien entendu mais n'est pas de la forme . Or dans la définition les deux mesures algébriques ont pour premier point O.

Je me suis donc demandé comment écrire les choses différemment pour ne pas avoir ce problème de point.
J'ai pensé à écrire les choses comme suit :
On considère deux vecteurs et avec . On pose et orthogonal à . Il existe un unique couple de réels tels que .
Le produit scalaire de et est défini par .
En utilisant le fait que est une base orthonormée, alors si et on a et par conséquent
.

[ThM55]

Pourquoi ne prenez-vous pas le vecteur w simplement comme ? Il me semble que cela résoudrait votre problème. L'addition des projections orthogonales sur OA est évidente.

[gg0]

Oui, la bonne vieille "règle du parallélogramme".

[MissJenny]

je ne comprends pas comment on peut définir le produit scalaire à partir de la projection orthogonale, vu qu'on ne peut parler d'orthogonalité qu'une fois qu'on a spécifié un produit scalaire.

[Merlin95]

Parceque il faut voir le produit scalaire d'abord comme simplement |a|.|b| cos(alpha).

Mais c'est curieux aussi car comment définir |u|, avant le produit scalaire ? Ben on trouve juste que le produit scalaire « colle » avec nos notions intuitives d'orthogonalité, de longueur.

[Merlin95]

Mais vous avez put-être raison, car pour definir cos(alpha) je me dis qu'on utilise une notion de triangle rectangle donc d'orthogonalité ?

[gg0]

Bonjour miss Jenny.

Je ne crois pas que Euclide ait entendu parler de produit scalaire; ni Descartes, Euler ou Gauss. En géométrie synthétique, l'orthogonalité, la perpendicularité est définie bien avant la notion de vecteur.
Ce n'est que dans une définition de la géométrie par l'intermédiaire de l'algèbre linéaire que les définitions sont inversées. Avec une multiplicité de produits scalaires bien loin de la perpendicularité de l'équerre

Cordialement.

[Merlin95]

Cependant même par exemple pour l'espace vectoriel des polynomes, le produit scalaire entre deux polynomes P et Q, on peut toujours dire que P.Q = |P|.|Q| cos(alpha).

[gg0]

Heu... quel produit scalaire ?
Une fois défini un produit scalaire, on peut définir des angles entre les vecteurs par la formule que tu cites. Angles entre 0 et pi, définis par leur cosinus.
Mais à toi de dire quel est ce produit scalaire.

Cordialement.

[Merlin95]

Sur , avec w une fonction de pondération donnée : <P, Q> =

[Merlin95]

Par exemple (sauf erreur), avec w(x)=1 :
.

<P, Q> =

|P|=1
|Q|=61/9
P et Q sont séparés d'un angle de puisque <P,Q>/(|P| |Q|)=1/2.

Mais, si on prend la base orthonormée , je me serais attendu à ce que le produit scalaire vaille , mais non. Pourquoi la formule dans un repère orthonormée ne semble pas valable ?

[Merlin95]

Oups j'ai vu mon erreur : c'est surement du au fait que la base n'est pas orthonormale pour le produit scalaire en question.

[gg0]

Oui.
De plus 1/2 n'est pas le cos de pi/4

Cordialement.

NB : tu n'as pas dit quel produit scalaire tu utilises (combien valent a et b ?). Avec d'autres valeurs l'angle sera différent.

[mgtoul]

J'ai posé pour avoir un réprésentant d'origine O de la somme et ainsi pouvoir appliquer la définition du produit scalaire avec le projeté orthogonal.
Mais comme vous le soulignez je peux poser C tel que mais je dois quand même introduire un autre point D pour la somme de sorte que ( et donc ).
J'ai donc d'une part et d'autre part ..
Pour conclure il reste à établir que . On peut en effet invoquer la règle du parallélogramme, ici puisque OBDC est un parallélogramme, et le passage aux mesures algébriques se justifient en disant que celles-ci représentent des coordonnées de vecteurs sur l'axe (OA). Sinon on peut dire que car et par la relation de Chasles on a .

Bon je pense que je vais en rester là. Mais j'avais envie de voir de quoi il en retournait au niveau preuve; car on admet systématiquement les propriétés de produit scalaire dans les manuels scolaires.

[Merlin95]

Oui bien sûr j'ai pris au plus simple : a=0, b=1, et en effet c'est et non .