Racine de fonction

[zeroto]

Bonsoir,
cela fait quelques mois que je prépare un examen d'admission
et ces derniers jours je suis bloqué sur un exercice qui me donne du fil à retordre (mes préférés )

il m'est demandé d'étudier la fonction suivante et de la représenter. Cependant je n'arrive pas à trouver les Racines de cette fonction.
Je tombe souvent sur des résultats obscurs ou ayant aucun sens avec le dessin de la fonction (réalisé sur geogebra).

f(x) = 2ln(x+1) - ( (x)/(x+1) )

en espérant que vous puissiez m'aider,
je vous souhaite une très agréable soirée !

bien à vous
-----

[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Point de vocabulaire, on parle de zéro pour un polynôme P. De solutions ou de zéros pour une équation polynomiale P(x) = 0 ou quelconque f(x) = 0.

Dans votre cas, il y a une solution évidente. Il y en a une seconde, pas évidente, sauf si vous connaissez la fonction W de Lambert. Cf https://www.wolframalpha.com/input?i...1%29+%29+%3D+0

Cela dit, si on vous demande juste d'étudier la fonction sans vous demander explicitement ses zéros, vous pouvez surement vous contenter de dessiner son allure (après avoir fait l'étude classique, limites, asymptotes, tableau de variations, etc.).

Votre examen requiert quel niveau ?

[gg0]

Bonjour Zeroto.

Dès que la fonction n'est pas très simple, même pour des polynômes, il n'y a pas de calcul algébrique donnant ses "racines" comme tu dis. Tout simplement parce que résoudre une équation quelconque est généralement impossible (impossibilité de fait, ou pas de méthode connue). Donc trouver les valeurs de x qui annulent f(x) ne fait pas partie de l'étude d'une fonction quelconque. Par contre de nombreux exercices de fin de lycée étudient combien il y a de zéros pour une fonction donnée, voire en calculent une valeur approchée.
Quel est le sujet exact de ton exercice ? (tu peux le scanner ou le photographier).

Cordialement.

[zeroto]

Bonjour Albanxii,
je vous remercie pour cette précision point de vu vocabulaire.

Concernant la seconde solution, je me disais bien que j'étais sur un cas que je n'avais jamais vu !
Effectivement la fonction W de Lambert n'est pas au programme (du "lycée" et En Belgique en tout cas).
C'est assez curieux d'ailleurs, cet exercice provient d'un examen de 2019.

En effet il m'est pas demandé explicitement de trouver les zéros de la fonction. Je devrais peut être me contenter de dessiner son allure comme vous le proposez.
(Une seconde question émerge donc : comment pourrais-je dessiner son allure sans connaitre le nombre de zéros de la fonction ? J'ai du mal à comprendre comment deviner le nombre de fois que la fonction traversera l'axe OX. Peut être qu'une méthode m'échappe)

Enfin, pour répondre à votre question l'examen requiert un niveau lycée.

Je vous remercie très chaleureusement d'avoir pris le temps de répondre.
Merci énormément pour l'aide que vous m'avez apporté !
Bien à vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zeroto]

Bonjour gg0,
tout d'abord merci pour votre réponse.
Je pense effectivement que les valeurs de x qui annulent la fonction ne font juste pas partie de l'étude dans ce cas-ci.

Je n'ai par contre pas le souvenir d'avoir réalisé des exercices étudiant combien il y a de zéros pour une fonction donnée.
Auriez-vous une vidéo / un document quelconque à ce propos ?

Comme demandé, vous trouverez ci-joint l'énoncé de l'exercice.

Je vous souhaite une agréable fin de matinée.
Cordialement.

[mach3]

On peut adopter la démarche suivante :
-D'abord on regarde si la fonction n'est pas strictement positive ou négative sur ses intervalles de définition (ainsi on évacue le cas où il n'y a aucun 0), puis on établit les limites de la fonction aux bornes de chacun de ses domaines de définition (s'il y en a plusieurs, ici il y en a un seul, les réels strictement supérieurs à -1). Si la fonction est continue, on peut facilement déduire que si ces limites sont de même signe, alors il y a un nombre pair de zéros (aucun, deux, quatre...), s'ils sont de signe différent, alors il y a un nombre impair de racine.
-ensuite on établi la dérivée, et on fait la même chose avec. Là on peut se rendre compte par exemple que la dérivée est strictement positive ou strictement négative et que donc la fonction étudiée est strictement monotone, ce qui va imposer soit aucun 0 (limites de la fonction de même signe), soit un seul (limites de la fonction de signes différent). Cette dérivée peut par ailleurs être gentille et avoir des 0 qui se trouvent tout de suite, et le calcul de la valeur de la fonction aux zéros de sa dérivée donnera des indices sur le nombre de 0 qu'elle peut avoir.
-si on ne peut pas conclure avec cette dérivée première, on passe à la dérivée seconde, etc, etc jusqu'à trouver une dérivée qui permette de conclure.

Ici, la fonction semble continue et tendre vers +infini aux deux bornes de son intervalle de définition, donc nombre pair de 0. Il semble que la dérivée première possède un seul 0, et qu'elle soit croissante, ce qui signifie négative avant ce zéro et positive après, donc la fonction est décroissante avant ce zéro et croissante après. Si la fonction est positive au zéro de sa dérivée, on peut en conclure qu'elle n'a elle-même aucun zéro alors que si elle est négative au zéro de sa dérivée, on conclura qu'elle a deux zéros.

m@ch3

[gg0]

Les points d'intersection de la courbe de f avec l'axe des x sont des points utiles si on peut les trouver facilement. Sinon, on s'en passe, et on utilise d'autres points de la courbe.
Cet exercice pourrait être complété par les questions suivantes :
* Justifier que la fonction f s'annule sur ]-1,-0.5[ pour une valeur de x que l'on notera a.
* En calculant des valeurs de f, trouver une valeur approchée de a arrondie au premier chiffre après la virgule.
* Combien de fois f s'annule-t-elle ?
Ces questions se traitent avec le théorème des valeurs intermédiaires (si f est continue et varie de a à b, f prend toute valeur comprise entre a et b). Mais peut-être n'est-il pas à ton programme.

Cordialement.

[zeroto]

Bonjour gg0,
Merci beaucoup pour vos explications !! C'est beaucoup plus clair désormais, je ne sais pas pourquoi mais je m'obstinais à essayer d'avoir les point d'intersection avec l'axe des X.
De plus les questions proposées m'ont permis de revoir théorème des valeurs intermédiaire (qui m'était totalement sorti de l'esprit).

Grâce aux compléments d'informations, L'exercice me semble beaucoup plus simple tout à coup !

Je vous remercie très sincèrement pour votre aide !
Cordialement

[zeroto]

Bonjour mach3,

Je ne connaissais pas du tout cette manière de faire.
Ce raisonnement doit absolument rejoindre ma boite à outil !
Je vous remercie infiniment d'avoir pris le temps de m'écrire ces explications très claires.

Je peux désormais passer à la suite de mes exercices sereinement !

Encore un grand merci !!
Je vous souhaite une très bonne fin d'après midi !
Bien à vous