Équation transcendante

[RemDeba]

Aujourdhui, j'ai appris à ma plus grande tristesse que certaines équations ne se résolvait pas numériquement genre x=cos x ou x=exp(-x)
Ma questions est la suivante, dans ce genre de cas est-ce que la solution que l'on trouve est une valeur avec un nombre de décimal fini et est ce qu'il est possible qui sagisse d'une la valeur exacte du genre logarithme de base pi de racine troisième de 4/7 ou un truc complètement barre qu'on n'est jamais réussi à trouver ? Ou est-il juste impossible de trouver une valeur exacte car elle n'existe pas ?
-----

[gg0]

Bonjour.

Effectivement, contrairement à ce que peut laisser penser l'enseignement (*), la plupart des équations n'ont pas de méthode de résolution exacte. Attention, tu parles de résolution numérique, or cela désigne habituellement la recherche de valeurs approchées des solutions. Ce qui est très bien maîtrisé avec de nombreuses méthodes pour de nombreuses classes d'équations. Par exemple, l'équation x=cos(x) se résout numériquement très vite avec une simple calculette, en calculant les cosinus successifs d'un nombre de départ quelconque. en tapant cos(cos(cos ....0))...)), avec une cinquantaine de "cos", on a déjà 5 ou 6 chiffres significatifs exacts.
À tes questions finales, j'ai en fait déjà répondu : Puisqu'on ne connaît pas de résolution exacte, il n'est pas possible de savoir "qu'il s'agisse d'une [la] valeur exacte du genre logarithme de base pi de racine troisième de 4/7" (je passe sur la fin de la phrase, qui n'a pas de sens). Et "Ou est-il juste impossible de trouver une valeur exacte car elle n'existe pas ?" montre que tu ne comprends pas vraiment le sens de ce que tu écris : S'il n'y a pas de valeur exacte , c'est qu'il n'y a pas de valeur ! L'expression "valeur exacte" n'a de sens que par opposition à "valeur approchée". Une valeur approchée de π est 3,14, sa valeur exacte est ... π. Si les solutions d'une équation sont x et y, les valeurs exactes des solutions sont ... x et y.

Cordialement.

(*) C'est normal, on enseigne ce qu'on sait faire, et en collège et lycée, des cas élémentaires.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

A noter que, sauf cas particuliers, il n'est déjà plus possible de trouver de solutions analytiques à des polynômes de degré 5 ou plus.

[Deedee81]

Salut,

Petite remarque :

Il faut noter quee lorsqu'on a une solution analytique, elle est exacte. Par exemple une solution comme x = pi, x = ln 2 ou même d'une solution sous forme d'une intégrale définie.
Toutefois si on veut une solution numérique en base 10, seules les solutions rationnelles sont exactes. Même pi écrit sous forme décimales a forcément un développement limité 3.14 par exemple.

A noter que, sauf cas particuliers, il n'est déjà plus possible de trouver de solutions analytiques à des polynômes de degré 5 ou plus.

Et faut pas être triste pour ça Au contraire, je trouve que ça ajoute énormément de richesse aux mathématiques.

Et en physique on trouve souvent des situations où seules les méthodes approchées (perturbations, variations, développements limités : Fourier, Bessel, harmoniques sphériques, polynomes de Legendre, etc.... etc...) sont possibles. Et même des cas où ni le numérique ni les méthodes approchées ne peuvent aider. L'exemple archi connu sont les équations de la mécanique et de la gravitation universelle. Equations aux dérivées partielles mais particulièrement simples. Et pourtant avec trois corps, sauf solutions exceptionnelles (d'ailleurs très utiles) le comportement est "chaotique" et donc les solutions approchées sont "fausses". Mais ça aussi, ça apporte énormément de richesse.

Enfin, c'est mon point de vue. J'aime les situations étranges, complexes, pleines de surprises et aux résultats/avancées étonnantes amenant des étoiles dans les yeux

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Précisons la remarque de Paraboloïde_Hyperbolique :

Les équations polynomiales de degré 1 et 2 (ax+b=0; ax²+bx+c=0) ont des solutions réelles ou complexes calculables algébriquement (avec les 4 opérations, les puissances et les racines carrées). Pour les degrés 3 et 4, il existe des méthodes algébriques générales (avec les 4 opérations, les puissances et les racines carrées et cubiques) donnant leurs solutions réelles ou complexes. Pour les équations de degré 5 ou plus, il n'existe pas de méthode générale, même si on sait résoudre de nombreux cas particuliers (x⁵-1=0 a une seule solution réelle, 5 en complexes). Et on sait que dans de nombreux cas, il ne peut pas exister de résolution purement algébrique (avec les 4 opérations, les puissances et les racines n-ièmes). C'est d'ailleurs aussi le cas de nombreuses équations de degré 3, si on limite les calculs à l'ensemble des réels.
Ce qui n'interdit pas de résoudre ces équations en rajoutant des outils non algébriques, comme les fonctions trigonométriques directes ou inverses. On obtient alors des solutions exactes. De même, si on ajoute des fonctions non algébriques, on résout "exactement" l'équation x=exp(-x); on trouve x=LambertW(1). Ce qui n'est qu'une petite réécriture de l'équation, la fonction LambertW(t) étant définie par une égalité fonctionnelle : LambertW(t) exp(LambertW(t))=t (c'est la solution unique de l'équation y exp(y)=t).
Mais des fonctions qui ne sont définies que comme une solution d'équation, tu en connais depuis longtemps. La racine carrée, rac(t), par exemple, est la solution positive de x²=t.

Cordialement.

[ThM55]

Les équations quintiques sont "presque" résolubles par radicaux. Il existe en effet une méthode qui utilise les "radicaux de Bring", découverte par Hermite, raffinée par la suite par Felix Klein. Il s'agit en fait d'utiliser des propriétés des fonctions elliptiques, qui sont une classe de fonctions que l'on ne considère pas en général comme des "fonctions élémentaires", bien qu'elles furent considérées comme essentielles pendant une grande partie du XIXème siècle. J'avais un prof (un ingénieur qui était spécialisé dans la mécanique pour les satellites et développait des méthodes numériques), qui appelait cela les "mathématiques romantiques": trouver des "solutions exactes" en passant par les complexes, en déformant des contours sur des surfaces de Riemann, etc., surtout pour la beauté du sujet, plus que pour l'efficacité.

La solution numérique approchée de x=cos(x) s'obtient facilement en itérant le cosinus (on obtient 0,739085... si on met la calculette en radians). La question de savoir si cette solution peut s'écrire en utilisant des constantes "banales" et quelques fonctions élémentaires est intéressante. En fait la réponse est connue et "presque" affirmative, mais elle utilise la fonction Beta inverse, qui n'est certes pas à classer parmi les fonctions dites élémentaires! (voir "nombre de Dottie" sur Wikipedia). Comme on est partis d'une équation simple avec juste une fonction trigonométrique, on doit admettre qu'en général de telles "solutions exactes" sont exceptionnelles.

[RemDeba]

On reconnais la passion et les connaissances ici, merci pour vos réponses en tout cas !

[SULREN]

Bonsoir,
J'ose m'aventurer dans la rubrique "mathématique du lycée", mais en y allant sur la pointe des pieds, car mon niveau mathématique initial déjà pas très élevé (diplôme d'ingénieur) s'est bien érodé avec l'âge.

@RemDeba a écrit:

Aujourdhui, j'ai appris à ma plus grande tristesse que certaines équations ne se résolvait pas numériquement genre x=cos x

Et @Deedee81 s'est montré plutôt rassurant.

Et faut pas être triste pour ça Au contraire, je trouve que ça ajoute énormément de richesse aux mathématiques.

Moi ce qui me rend quelques fois triste c'est que je ne sais plus résoudre par la méthode formelle, analytique, certaines équations comme je savais le faire dans le passé.
Et bien sûr je tombe aussi, souvent, dans mes bricolages (systèmes hydrauliques, montages mécaniques, etc) ou dans mes passions (horloges astronomiques, etc) sur des systèmes d'équations non linéaires que personne ne peut résoudre par la méthode analytique.

Dans les deux cas ci-dessus les "bidouilles numériques" permettent de trouver les solutions approchées avec une précision très largement supérieure au strict besoin pratique, donc pas de soucis, hormis la "petite honte" d'avoir eu à bidouiller.
Je me suis même créé, il y a déjà une vingtaine d'années, mon propre outil qui règle tout cela.
Par exemple pour x=cos(x) il me trouve en quelques secondes: x= 0,7390850782... et je pourrais même affiner (dans les limites du flottant du langage de programmation de mon outil).

Le problème se posait surtout pour nos Anciens qui devaient se taper à la main les algorithmes itératifs.
(pour les calculs des trains d'engrenages des horloges astronomiques, c'était les fractions continues par exemple. Aujourd'hui ma "bidouille numérique" fait 100 fois mieux et plus vite).

[SULREN]

Re
Cela n'apporte rien de plus à la discussion, mais juste pour éventuellement évaluer mon "outil bidouille" par rapport à un outil "performant de Matheux", la solution, "un peu affinée", donnée par mon outil à x=Cos(x) est : 0,739085137844

[SULREN]

Bonsoir,
Cela n'apporte toujours rien de plus à ce fil, j'en conviens, mais autant "laisser traîner" les valeurs les plus précises possibles, calculées en flottant double précision.
La solution de x=Cos(x) que je trouve est: x=0,739085133215161

Toutes mes excuses!
(Je viens de remarquer que j'avais laissé mon outil fonctionner en flottant simple précision, ce qui suffit très largement à mes besoins habituels de calcul, même pour les horloges astronomiques).

[gg0]

Bonjour.

Wolfram Alpha donne
0.7390851332151606416553120876 738734040134
Voire plus de décimales si besoin.

Cordialement.

[SULREN]

Bonjour à tous,

@gg0 :
Bonjour et merci pour les infos données dans ton post, qui me sont très utiles.
Je ne connaissais pas Wolfram Alpha et je ne pense pas en avoir besoin un jour pour mes problèmes pratiques, que je résous avec mes seuls "outils maison" (par ex, j’ai déjà SCILAB mais je ne m’en sers pas).
Je vais quand même aller sur Wolfram Alpha :
- Déjà par pure curiosité,
- Pour d’éventuelles discussions sur mes autres forums …..de type sodo de dyptères hyper précis,
- Pour vérifier les résultats trouvés par mes propres outils.
Je n’ai qu’Excel pour le faire, qui est très pratique, mais lui aussi limité en précision.
Au passage je rappelle qu’il ne faut que quelques secondes avec Excel pour résoudre x=Cos(x).
On rentre une valeur initiale de x dans une cellule, on rentre la formule Cos(x) dans une cellule, et on réinjecte la valeur de cette dernière dans la cellule précédente, en mode itératif. Voir Image1 ci-jointe et le résultat qu’on trouve avec Excel.

Ma babasse, utilisée ici en interface « mode console » (fenêtre du DOS), et poussée au maximum de décimales, donne pour x=Cos(x) le résultat Image2, soit :
0.73908513321516067000 au lieu de :
0.7390851332151606416553120876 738734040134 par Wolfram
La limitation en précision provient un peu du flottant 64 bits et probablement bien plus de la limitation de la série de Taylor (ou de l’algo Cordic) utilisée dans le calcul du Cos.

Mais cette précision me suffit très amplement.
J’ai commencé à écrire le code de mes propres outils numériques au début des années 2000 :
- Au début pour générer les profils de dents d’engrenages et commander les axes de mes machines d’usinage (engrenage en développante de cercle et engrenages aux profils ogivaux de l’horlogerie).
- Puis pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et non linéaires (dans mes problèmes pratiques je n’ai pas eu à dépasser 4 variables, 4 équations).
- Puis pour approximer un réel par un produit de fractions, afin de déterminer les trains d’engrenages pour obtenir des rapports de transmissions extrêmement précis. Je ne voulais pas de la méthode des Fractions Continues....archaïque.
L’Image3 montre une phase de lune à engrenages avec une précision relative sur la valeur moyenne de la lunaison de 1,1*10^-9
(on se contente souvent de moins, afin d’avoir moins de dents à tailler, mais pour le fun on peut aller bien plus loin en précision avec des trains d'engrenages). J’applique cela aux autres mouvements périodiques du système solaire.
- Puis sont venues bien d'autres applications.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Pour vos applications Wolfram alpha n'est probablement pas nécessaire. Le point fort de Wolfram Alpha est le calcul symbolique (avec son grand frère Mathematica). Cela peut être très utile pour trouver des expressions analytiques pas évidentes à trouver. Par exemple, je m'en servais pour trouver les primitives d'intégrants pas évidents à primitiver.

[SULREN]

Bonsoir,

@Paraboloide_Hyperbolique:

Pour vos applications Wolfram alpha n'est probablement pas nécessaire.

Oui, probablement, mais je suis quand même allé voir le site Wolfram Alpha. J’y retournerai volontiers et souvent et je l’ai même déjà signalé à mes enfants.
J’ai toujours aimé les mathématiques, depuis le début de l’école primaire et jusqu’à la fin de mes études (ingénieur automaticien : donc dynamique des systèmes, équations différentielles, modélisation, transformation de Laplace, transformation en z, etc, et j’ai fait toute ma carrière dans l’automatisation des grands sites industriels physico-chimiques).

Mais cela remonte loin et un jour on abandonne les démarches formelles, analytiques, et on se simplifie la vie en se vautrant dans la « tambouille » des méthodes numériques pour résoudre avec facilité les problèmes qui se posent à nous. C’est moins glorieux….et à vrai dire même pas digne d'être abordé sur un forum comme FS.

Par exemple :
J’ai eu un mot malheureux (que je regrette) dans mon post précédent, en qualifiant d’archaïques les fractions continues. C’est vrai qu’elles datent du début du Moyen Age (Ve siècle, en Inde) mais c’est un outil que j’ai dans un premier temps trouvé génial pour calculer les trains d’engrenages des horloges astronomiques.
(Le moine Jean Fusoris s’en est servi en 1424 pour calculer ceux de l’horloge de Bourges, et ce « génie » de Jean Baptiste Schwilgué pour calculer ceux de la fameuse horloge de la cathédrale de Strasbourg vers 1840).
Mais, quand j’ai voulu faire mes propres calculs dans ce domaine, j’ai eu des doutes sur la capacité des fractions continues à aboutir aux solutions mécaniques optimales….et j’ai vite compris qu’en bénéficiant de l’énorme puissance de calcul dont on dispose dans un PC à deux balles, je pouvais faire mieux et plus vite, avec un outil que je me suis créé (moyennant quand même énormément de réflexion pour la mise au point d’un algorithme infaillible et à exécution rapide, …..et bien sûr de travail pour écrire le code).