D'ou vient le produit scalaire? Qu'est ce que ca représente?

[tauste]

Ce sujet a déjà était vu mais je ne comprend toujours pas d’où ça vient et ce que ça représente.
Oui le produit scalaire est le produit des normes de deux vecteurs et de leur angle.
Mais comment on en est arrivé là. On s'est pas dit, tient je vais créer le produit scalaire et ce sera ça.
Certains me répondront que ça vient des physiciens pour le travail des forces pourtant, sur wikipedia, on voit que le produit scalaire est apparu dans le domaine des maths.
Et même si ça vient des physiciens, comment interpréter le résultat mathématiquement?
Merci de vos réponses
-----

[invite96766349]

Salut,
scalaire découle du mot latin scala (échelle), il fut introduit me semble-t-il par Hamilton et décrit par Tait dans son "traité élémentaire des quaternions" où il désigne les deux parties du quarternion par vecteur et scalaire.

[tauste]

Ah...
J'imagine que pour pouvoir comprendre d'où vient ce produit scalaire et son interprétation mathématique il va falloir que j'attende encore un peu...
il n y a pas d'autres facons plus simples de le visualiser/comprendre?

[albanxiii]

Bonjour,

Selon votre bagage mathématique il y a plusieurs façon de répondre à cette question.
Un point de départ est de faire une recherche sur le forum, par exemple en regardant les fils de discussion qui se trouvent tout en bas de cette page

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Le produit scalaire a bien été défini par les mathématiciens, quand on a créé la notion de vecteur, mais il y avait longtemps que les physiciens utilisaient des produits de deux longueurs (ou intensité) et du cos d'un angle. En fait, le calcul vectoriel avec ses deux produits est apparu comme une simplification de très nombreuses méthodes connues. À la fin du dix-neuvième siècle.

Cordialement.

[invite96766349]

Ah...
J'imagine que pour pouvoir comprendre d'où vient ce produit scalaire et son interprétation mathématique il va falloir que j'attende encore un peu...
il n y a pas d'autres facons plus simples de le visualiser/comprendre?

Il faut comprendre que le produit scalaire est une opération qui associe à 2 vecteurs un nombre réel, ce qui permet d'obtenir des informations concrètes sur ces 2 vecteurs comme leur degré d'alignement ou l'orthogonalité.
Prenons un exemple:

soit 2 vecteurs u(-3;4) et v(2;-1)

faisons le produit scalaire u.v: u.v=-3x2 + 4x(-1)=-10
||u||=rac[(-3)² + 4²]=rac(25))=5
||v||=rac[2² + (-1)²]=rac(5)

cos(u,v)=u.v/(||u||x||v||)=-10/(5xrac(5))=-2/rac(5)

Vérification: u.v=[-2/rac(5)]*[5*rac(5)] = -10

On en déduit que -10 étant négatif les 2 vecteurs sont de sens contraire, comme le cos est négatif les 2 vecteurs forment un angle obtus.
Ca te va comme exemple?

[tauste]

désolé pour le temps de réponse...
Oui, merci, maintenant je vois une utilité concrète du produit scalaire:
si on a les cordonnées de deux vecteurs, on peut connaitre leur angle.

[Merlin95]

Le produit scalaire est une propriété géométrique entre deux vecteurs. Une propriété linéaire suivant les deux vecteurs de départ. Donc quelque chose, un simple scalaire, qui peut correctement représenter une norme d'un vecteur en appliquant le produit scalaire d'un vecteur avec lui même.
Ensuite, si on a une norme, on a alors une distance définie en prenant la norme de la différence entre deux vecteurs.

Mais ne penses pas qu'on puisse apporter une réponse convenable, c'est ainsi que notre esprit aborde les mathématiques, et ça se goupille bien. C'est tout.

[Deedee81]

Salut,

Oui, merci, maintenant je vois une utilité concrète du produit scalaire:

Il ne faut pas toujours chercher une utilité concrète C'est des maths. Mais beaucoup de choses en mathématiques ont souvent une origine historique qui sort du strict cadre des mathématiques. C'est le cas du produit scalaire.

Mais au-delà de cet aspect concret/utilitaire/pratique les mathématiciens vont rendre les choses plus formelles (axiomatique par exemple), plus générale (les espaces vectoriels ce n'est pas toujours "géométrique", prenons l'espace des polynômes de degrés 3 par exemple qui a une structure évidente d'espace vectoriel), plus abstrait (on peut définir une infinité de produit scalaire, n'ayant pas nécessairement une signification géométrique).

Et bien souvent ce sont même des structures mathématiques née "from scratch" des réflexions mathématiques sans s'enraciner dans des travaux hors champ des mathématiques. Même si un usage plus concret est parfois trouvé ensuite (pensons aux variétés différentiables, aux matrices,...)

Comme le dit Merlin :

Mais ne penses pas qu'on puisse apporter une réponse convenable, c'est ainsi que notre esprit aborde les mathématiques, et ça se goupille bien. C'est tout.

Tout juste