exercice Seconde Vecteur Colinéaires

[LyceeGT2024]

Bonjour,
Pouvez vous m'aider svp pour cet exercice de vecteur-colinéarité :

ABC est un triangle
Sur la figure ci-contre les graduations représentées sont régulières et on a placé les ponts K, L et M.
Prouvez que les points A, M et L sont alignés.
Merci

[Voici l'aide qu'a donné le professeur : Décomposez le vecteur AM en fonction de AK et KB, puis AC et KB et finalement en fonction de AB et BC. Décomposez ensuite le vecteur AL en fonction de AC et BC. Démontrez enfin que les vecteurs AM et AL sont colinéaires.]


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[JPL]

Lis d’abord EXERCICES et FORUM et fais ce qui est demandé.

[LyceeGT2024]

J'ai fais ce qui est demandé par le professeur, j'ai décortiqué les vecteurs comme demandé mais je n'arrive pas à prouver la colinéarité
Cela fait plusieurs jours que je suis dessus et je n'y arrive pas.
J'ai besoin d'un coup de main SVP

[LyceeGT2024]

j'ai décortiqué en
AM = AK + KB = 2/3 AC + KB = 2/3 AC + KC + KB = 2/3 AC + 1/3 AC - BC = AC - BC = AB + BC - BC = AB
AL = AC + CL = AB + BC + 2/3 CB = AB + 1/3 BC = AC + CB + 1/3 BC = AC - 2/3 BC

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu crois vraiment que les vecteurs AM et AB sont égaux ? (Que les segments AB et AM sont de même direction, même longueur et même sens ?).
Bien sûr que ces vecteurs sont différents, donc tu as fait une grosse erreur de calcul. À toi de la trouver ...

Sinon, passer par K pour décomposer AM peut servir, mais il faut alors déterminer le vecteur KB, ou son opposé BK en fonction des points de base A,B et C. Je te propose de prendre BK=BA+AK = ...

Bon travail !

PS : l'erreur sur AM est vraiment évidente et grossière !

[LyceeGT2024]

OK ; je suis donc parti plutot de mon erreur qui est très grossière effectivement :

AM = AK + KM = AK + KB + BM = AK + KB + 3/7 BK = AK + KB - 3/7 KB = AK + 4/7 KB = AC + CK + 4/7 KB = AC - 1/3 AC + 4/7 KB = 2/3 AC + 4/7 KB = 2/3 AC + 4/7 (KC + CB) = 2/3 AC + 4/7 (1/3 AC + CB) = 2/3 AC + 4/21 AC - 4/7 BC = 18/21 AC - 4/7 BC

AL = AC + CL = AB + BC + 2/3 CB = AB + 1/3 BC = AC + CB + 1/3 BC = AC - 2/3 BC

Donc sachant que AM = 18/21 AC - 4/7 BC et que AL = AC - 2/3 BC

Det (AM ; AL) = (18/21 x (-2/3)) - ((-4/7) x 1) = 4/7 - 4/7 = 0
Donc les vecteurs AM et AL sont colinèaires ; sachant qu'il y a un point commun qui est le point A, alors les points A, M et L sont alignés.

Je pense avoir trouvé !

Merci pour votre aide précieuse.

[gg0]

Sans le déterminant :
AM = 18/21 AC - 4/7 BC = 6/7 AC - 4/7 BC = 2/7(3 AC -2BC) = 2/7(3AL)=6/7 AL.

[LyceeGT2024]

pourquoi de 3AC - 2BC vous passez à 3AL ?
Merci

[gg0]

Parce que AL = AC - 2/3 BC , tu l'as dit !!

NB : tu aurais calculé 3AL, pour voir ....

[LyceeGT2024]

pas bête !
merci