fonction réciproque

[lama001]

Bonjour,
SVP j'ai une question théorique.
On sait que si on a deux fonctions réciproques alors leurs courbes sont forcément symétriques par rapport à la droite (y=x), mais est-ce nécessairement dans un repère orthonormé ?
Merci
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[gg0]

Bonjour.

Excellente question. Quand on regarde ce qui se passe dans un repère autre, on voit qu'avec un repère totalement quelconque, il n'y a plus symétrie (essaie avec un repère orthogonal, mais d'unités très différentes sur les deux axes), sauf cas particulier (pour x-->x et sa réciproque, c'est vrai dans tout repère). Saurais-tu démontrer (géométrie élémentaire) que c'est encore le cas si le repère a la même unité de longueur sur les deux axes ?

Cordialement.

[lama001]

Bonjour,
Si j'ai bien compris vous parlez du repère normé mais pas orthogonal, si je saurai démontrer qu'il n'y a pas de symétrie c'est ça votre question ?

[gg0]

C'est cela.
Un peu plus compliqué que pour un repère orthonormé, mais peut se faire avec des outils élémentaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[lama001]

Merci, pourriez vous m'orienter un peu SVP ?
j'ai essayé d'utiliser un triangle OAB tel que les cordonnées de A sont réciproques à celles de B et je dois montrer que la médiatrice de [AB] ne passe pas par O et donc ne peut pas etre la droite (y=x) mais je crois que c'est très compliqué.

[gg0]

J'ai l'impression que tu veux démontrer que les courbes ne sont pas symétriques. Ça n'a aucun intérêt, car dans certains cas particuliers, ce sera faux. Je t'ai donné un exemple.

Ce qu'on démontre, c'est que si le repère est normé, les courbes sont bien symétrique par rapport à la droite d'équation y=x. Je te donne le début :
On se place dans un repère normé (O,i,j) (*) et on considère les points A(x,y) et B(y,x). Parallèlement à (O,j), A se projette en A' et B en B'; de même, Parallèlement à (O,i), A se projette en A" et B en B". (AA") et (BB') se coupent en C et (AA') et (BB") en DIl y a différents cas de figures, mais dans tous les cas, OB'CA" et ACBD sont des parallélogrammes ayant des côtés successifs de même longueur (repère normé), donc des ...
À toi de continuer.

Cordialement.

(*) je note les vecteurs en gras.

[lama001]

Merci infiniment pour votre aide et explication si précieuse
Oui, finalement c'est ce que j'ai fais exactement en démontrant que ACBD est un losange donc ses deux diagonales sont perpendiculaires et concourantes en leur milieu.
Mais à part les cas particuliers comment montrer que si le repère est orthogonal sans être normé y a pas dans ce cas de symétrie ? J'ai pensé à un contre exemple simple mais je n'arrive pas à l'expliquer analytiquement.
Dernière question si vous permettez, peut-on dire que les cas particuliers où cette symétrie est vérifiée dans n'importe quel repère ça concerne les fonctions involutives ?
Cordialement

[gg0]

Ben ... un simple dessin le montre. Si le repère n'est pas normé, ACBD n'est pas un losange et donc en général, A et B ne sont pas symétriques par rapport à la droite.
Mais c'est sans grand intérêt, une fois vu qu'il n'y a pas de propriété.
Une plus saine démonstration est que si A et B sont toujours symétriques par rapport à la droite d'équation y=x alors le repère est normé, mais c'est évident en prenant A(1,0).

Cordialement.

[lama001]

Merci infiniment pour vos éclaircissements
Cordialement

[lama001]

Bonjour, si vous permettez j'ai encore une question qui me taraude. Peut-on parler d'une symétrie axiale dans un repère non orthogonal ? puisque dans ce cas il se trouve que la notion de l'orthogonalité n'a aucun sens ou n'est pas définie ainsi que le produit scalaire, ou peut être il suffit que l'orthogonalité est présente ici par le biais du losange et donc elle est présente purement géométrique seulement ?
Merci de me corriger et m'éclaircir sur ce point

[gg0]

Bonjour.

J'ai bien parlé de symétrie axiale dans le message #6, et tu as compris. Donc tu te trompes : Si le repère est normé, cela veut dire qu'on dispose d'une notion de distance, et donc de l’orthogonalité (même si les axes ne sont pas perpendiculaires).
Deux droites sécantes en A sont perpendiculaires si, en prenant un point B sur l'une et un point C sur l'autre (tous deux distincts de A), on a BC²=AB²+AC².

Cordialement.

[lama001]

Bonjour,
D'accord merci beaucoup, ce qui m'a étonné c'est que je n'ai jamais entendu avant ou lu que la symétrie des fonctions réciproques existe bien dans un repère normé que dans un repère orthonormé
Merci

[gg0]

C’est normal, en général elle n'existe pas. D'ailleurs, il est plutôt rare d'utiliser un repère normé mais pas orthogonal.

Cordialement.