Bonsoir à tous,
Petit soucis sur un exercice
Tout va bien jusqu'à la question 2.d, Ma conjecture est qu'on obtient un nombre réel pour les puissances de la forme n=4p avec une alternance de 1 et -1
Je remplace donc dans la somme précédente n par 4p mais ensuite il me manque l'astuce pour simplifier le k parmi 4p...
Si vous pouviez m'aider
En vous remerciant
Bonjour,
Question : est-on obligé d'utiliser la question c) pour répondre à d) ?
Autrement dit c'est un exercice sur les combinaisons ou sur les complexes ? SI c'est sur les complexes, il n'y ni besoin de Python ni de la formule du binôme.
Alors le python est la pour montrer que j donne un réel pour les multiples de 4, un imaginaire pur pour n=4k+2 et des nombres complexes sinon.
Et oui il faut utiliser le binôme pour démontrer la question 2.d)
Pour l'instant je me suis placé pour n pair et j'ai décomposé la somme
La première somme est donc la partie réelle et donne une alternance de 1 et -1 et la deuxième somme la partie imaginaire avec une alternance de i et -i.
En posant à la main, Je vois que les binôme se compose pour la partie imaginaire pour n=4k mais je ne vois pas comment le démontrer en dehors du "on voit que "
Bonjour.
Connais-tu la propriété
Elle permet de montrer que la deuxième somme s'annule.
Cordialement.
NB : La conjecture peut facilement se démontrer par récurrence à partir de la valeur de j².
Dernière modification par gg0 ; 07/02/2025 à 09h21.
Pour la démonstration sans passer par le binôme effectivement elle est bien plus évidente.
Ma difficulté est de prouver avec la présence du "i" que la somme des binômes imaginaires s'annule uniquement pour n=4p. Si je l'écris sur une feuille on remarque que pour n=4p la dernière puissance de i donne -i ce qui permet bien d'annuler les termes 2 par 2. Mais je ne vois pas comment le justifier autrement que par "on voit que les termes s'annulent 2 par 2"
De même dans la suite il faudra montrer que la somme des binômes réels s'annule pour n=4p+2, visuellement c'est pareil on a des 1 et des -1 qui s'annulent mais je ne vois pas comment le démontrer strictement
Avec la formule que j'ai donnée.
Plus précisément, compare dans ta somme les termes de rang k=m et k=n/2-1-m, en appliquant la formule.
Merci j'ai bien utilisé votre formule et j'ai pu voir la simplification mais cela ne fonctionne que pour certaines valeurs de n. Comment justifier que la somme des (i) ne se simplifie que pour n multiple de 4 ? et non pour tout n pair ?
Ben ... tu as déjà vu que pour n=2, 6, 10, et d'autres, le résultat n'est pas un réel.
mais pour prouver que pour n pair non multiple de 4, on n'obtient jamais un réel, tu peux utiliser la valeur de j² et ce que tu viens de prouver (si n=4p avec p entier, alors j^n est un réel). Et la même méthode sert pour les autres puissances de j.
Bon travail.
Si n est un multiple de 4, en divisant par 2 il reste un nombre pair de termes qui s'annulent deux à deux.
Si n est pair sans être un multiple de 4 il reste un nombre impair de termes qui ne pourront s'annuler deux à deux.
