Bonjour
Pourquoi les profs de maths en collège et lycée interdisent à leurs élève l'écriture √a pour a négatif ?
La fonction racine carrée est bien définie sur C tout entier, par ex √(-1) = i, de même que toute les fonctions usuelles que l'on voit au lycée, sin, cos, log ... sont toutes définies sur C tout entier.
c'est peut-être parce que la racine carrée n'est pas unique. C'est vrai aussi dans R mais on peut choisir la racine carrée positive, alors que dans C il n'y a pas de choix évident. Mais cela dit j'ai déjà vu la notation que tu proposes, plutôt dans des livres en anglais.
La définition de la racine carrée dans R est incontournable :
LA racine carrée d'un nombre POSITIF Y (notée √(Y) est LE nombre POSITIF X tel que X2 = Y
Dans C la notation √(-1) = i est (un peu) abusive même si elle est compréhensible...
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Bonjour Jall2.
Il est possible de définir une fonction racine carrée dans C, qui généralise √, puisque tout complexe a deux racines carrée; il suffit de donner une méthode pour décider, parmi les deux racines carrées de z, celle qui est √z. Le plus évident est de choisir, parmi les deux, celle qui a une partie imaginaire positive. Mais ça donne une fonction malpratique, en particulier parce que des nombre aussi proches que l'on veut auraient des images très différentes. Par exemple 1, qui aurait comme racine carrée 1 et 0,9999+0,02i qui aurait comme racine carrée -1+0,02i.
Quelle que soit la méthode choisie, on aura ce genre de problème, et les mathématiciens n'ayant pas vraiment besoin de cette fonction n'ont pas choisi de convention. D'ailleurs, à quoi servirait-elle ?
À noter : la notation √(-1) est en général ce qu'en France on note i, car les propriétés des racines carrées sont mal conservées en dehors de R+.
Cordialement.
Bonjour,
Les profs interdisent d’écrire √a pour a négatif peut être parce qu’au collège et dans la plupart du lycée, on travaille uniquement dans l’ensemble des réels (ℝ), où la racine carrée n’est définie que pour les nombres positifs ou nuls. La racine carrée de nombres négatifs (comme √(-1) = i) n’a de sens que dans les nombres complexes (ℂ), étudiés plus tard (en terminale spé ou en supérieur). Probablement ici une question de rigueur et de progression pédagogique.
Bonjour Zaza1.
En enseignement supérieur non plus on n'utilise pas le symbole √a pour a négatif ou a complexe non réel négatif. Ce symbole ne définit pas un nombre, car les complexes ont deux racines carrées (*). Relis mon message #4. J'y parlais des mathématiciens, pas de l'enseignement secondaire. Seule exception : la notation √(-1) parfois utilisée pour désigner ce qu'en France on note i.
Donc ce n'est pas une question de progression pédagogique.
Cordialement.
(*) si z est un complexe, une racine carrée de z est un complexe t tel que t²=z. Seul 0 a une seule racine carrée.
Bonjour M.
Merci pour cette explication
c'est parceque si tu acceptes cette écriture cela mène à un paradoxe. en effet
a) √((-1)²) = √((-1)*(-1)) = √(-1) *√(-1) = (√(-1))²= -1
b) √((-1)²) = √1 = 1 car (-1)² = 1
donc -1 = 1
c'est précisément pour cette raison qu'Euler a inventé le notation i pour remplacer √-1
Dernière modification par duduch74 ; 30/05/2025 à 17h59.
