Questions difficiles à faire en mathématiques.

**Anonyme007** · 24/09/2025, 03h32

Bonjour,

Sur la vidéo d'Axel Arno ici, https://www.youtube.com/watch?v=VSguRHSc6vI à la minute : $\text{[math]}$ et seconde : $\text{[math]}$ , on demande de calculer la limite suivante par les seulement les outils enseignés en terminal,
Voici la limite, $\text{[math]}$ à calculer.

Merci pour votre aide.

**Anonyme007** · 24/09/2025, 03h54

ça y est, j'ai su répondre,
Voici la méthode que j'utilise,
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ( Continuité de l'exponentielle en $\text{[math]}$ )

$\text{[math]}$ avec, $\text{[math]}$ .

Est ce que la méthode est correcte ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 24/09/2025, 03h59

Maintenant pour la question suivante,
Préciser $\text{[math]}$ l'ensemble des points du plan complexe tels que, $\text{[math]}$ . Une petite idée de votre part sur comment faire ?!
C'est à la minute 8 et 53 secondes que ça apparait sur la vidéo.
Merci d'avance.

**gg0** · 24/09/2025, 07h19

Envoyé par Anonyme007

Est ce que la méthode est correcte ?

Le calcul est correct, sous réserve que la limite existe. Pour éviter ça, on évite d'écrire "lim" avant de passer à la limite : On simplifie $\text{[math]}$ avant de faire tendre x vers 0⁺. ce qui rend inutile la permutation exp/lim (mais pas l'utilisation de la continuité de exp).
Autre chose : La travail n'est pas fini !!!!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Resartus** · 24/09/2025, 07h35

Bonjour,
Pour la question sur les modules, on écrit z comme x+iy et on prend le carré des modules pour se ramener à une équation du second degré en x et y où, après quelques manipulations, il n'est pas trop difficile de reconnaitre un cercle...
(Mais est-ce encore du niveau lycée actuel?)

**Anonyme007** · 24/09/2025, 07h58

Merci gg0. Je pense avoir saisi la méthode à suivre. Maintenant, c'est la question suivante qui me fait mal à la tête.
Merci à toi aussi Resartus pour la piste que tu proposes. Néanmoins, je trouve qu'elle est un peu compliqué et ne mène pas à grand chose. Il s'agit à ma connaissance de similitude directe qui s'ecrit comme : $\text{[math]}$ qui se traduit à priori par $\text{[math]}$ , et là je n'arrive pas à conclure. A mon humble avis, il s'agit de deux cercles de centres $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement, tels que l'un des cercles est le double du second, et que, les deux cercles s'intersectent en deux points $\text{[math]}$ .et $\text{[math]}$ qu'il faut déterminer Alors, comment traduire cela plus rigoureusement pour que ça représente une vrai preuve ?
Oui, cela fait partie du programme actuel au baccalauréat marocain. La géométrie dans le plan complexe fait partie des leçons enseignés en terminale scientifique au Maroc.
Merci d'avance.

**Resartus** · 24/09/2025, 09h09

Re,
Complètement faux! Le lieu des points t.q. OM=2O'M est UN cercle ENTIER. Mais cette propriété géométrique n'est plus enseignée en France depuis au moins 20/30 ans (sauf peut-être justement comme exemple d'utilisation de calcul algébrique sur les complexes)

Et puisqu'il semble qu'il faille t'expliquer tout le B A BA, le calcul est le suivant :
L''équation devient x^2+y^2=2[(x-2)^2+y^2] qui se ramène à x^2-8x+8+y^2=0 qu'on peut réécrire (x-4)^2+y^2=8 : équation d'un cercle de centre (4,0) et de rayon 2racine(2)
En France l'étude des complexes est désormais seulement en mathématiques expertes optionnelles en terminale. Mais avant cette réforme, tous les élèves de terminale scientifique étaient censés savoir faire cela...

**MissJenny** · 24/09/2025, 16h50

Envoyé par Resartus

L''équation devient x^2+y^2=2[(x-2)^2+y^2]

c'est pas plutôt 4 le facteur devant le terme de droite?

**gg0** · 24/09/2025, 17h32

Bonjour Anonyme007.

L'ensemble des points $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ où M et M' sont fixés, est un exercice du type de ceux que tu as faits en première, en application de la notion de barycentre.
En réécrivant :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On introduit le barycentre G de (M,1) et (M',-2) et le barycentre H de (M,1) et (M',2) et on décompose avec G dans la première parenthèse et H dans la deuxième, on obtient :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
qui montre que l'ensemble des points $\text{[math]}$ est le cercle de diamètre $\text{[math]}$

**Resartus** · 24/09/2025, 17h45

@miss jenny.
Oops oui, je n'aurais pas eu mon bac sur cette question...
Le bon cercle est de centre 8/3, 0 et de rayon 4/3

**Anonyme007** · 24/09/2025, 21h25

Bonsoir,

Envoyé par gg0

L'ensemble des points $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ où M et M' sont fixés, est un exercice du type de ceux que tu as faits en première, en application de la notion de barycentre.
En réécrivant :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On introduit le barycentre G de (M,1) et (M',-2) et le barycentre H de (M,1) et (M',2) et on décompose avec G dans la première parenthèse et H dans la deuxième, on obtient :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
qui montre que l'ensemble des points $\text{[math]}$ est le cercle de diamètre $\text{[math]}$

Merci beaucoup gg0, tu saisis vite ce à quoi je voulais arriver. C'est exactement la méthode que je recherchais. Et comme ça fait plus de 20 ans que je n'utilise pas la géométrie dans mon travail quotidien en mathématiques, j'ai fini par tout oublier. Merci pour ce petit rappel très pertinent.
Est ce que tu peux me dire, comment déduit-t-on de la relation, $\text{[math]}$ ( Produit scalaire ) que l'ensemble des points $\text{[math]}$ vérifiant cette relation est bel et bien le cercle de diamètre $\text{[math]}$ ?
Merci infiniment gg0.

Envoyé par Resartus

Re,
Complètement faux! Le lieu des points t.q. OM=2O'M est UN cercle ENTIER. Mais cette propriété géométrique n'est plus enseignée en France depuis au moins 20/30 ans (sauf peut-être justement comme exemple d'utilisation de calcul algébrique sur les complexes)

Et puisqu'il semble qu'il faille t'expliquer tout le B A BA, le calcul est le suivant :
L''équation devient x^2+y^2=2[(x-2)^2+y^2] qui se ramène à x^2-8x+8+y^2=0 qu'on peut réécrire (x-4)^2+y^2=8 : équation d'un cercle de centre (4,0) et de rayon 2racine(2)

Merci à toi aussi Resartus pour cette correction. Mais, ce n'est pas ce genre de raisonnement à lequel j'aspirais. Je cherchais une réponse à l'Euclidien, parce qu'il est plus expressif et pertinent. En tout cas Merci.

**MissJenny** · Hier, 06h07

Envoyé par Anonyme007

Est ce que tu peux me dire, comment déduit-t-on de la relation, $\text{[math]}$ ( Produit scalaire ) que l'ensemble des points $\text{[math]}$ vérifiant cette relation est bel et bien le cercle de diamètre $\text{[math]}$ ?

c'est dans Euclide. Quoique peut-être qu'Euclide connaissait seulement la réciproque : un triangle inscrit dans un cercle et dont deux des trois points sont sur un diamètre du cercle est rectangle.

**Anonyme007** · Hier, 06h56

Envoyé par MissJenny

c'est dans Euclide. Quoique peut-être qu'Euclide connaissait seulement la réciproque : un triangle inscrit dans un cercle et dont deux des trois points sont sur un diamètre du cercle est rectangle.

Oui, c'est vrai. Merci.

**Anonyme007** · Hier, 07h02

Maintenant, on passe à la question 8, qui figure dans la vidéo à la minute : 9, et 34 secondes. La question demande de trouver la limite de la suite, $\text{[math]}$ , à l'infini. Des idées ? Il me semble qu'il faut procéder par encadrement. Est ce vrai ?
Merci d'avance.

**gg0** · Hier, 08h40

Ben...essaie!

**gg0** · Hier, 12h11

Une primitive assez simple peut être utilisée ...

**Anonyme007** · Hier, 15h26

Merci gg0. Je préfère utiliser un encadrement. Voici comment,
La fonction, $\text{[math]}$ est décroissante sur $\text{[math]}$ , et donc, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
C'est à dire, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
C'est à dire, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
Par passage, à la limite, on a, $\text{[math]}$
D'où, $\text{[math]}$ .
La méthode ne marche pas. Comment l'améliorer d'après vous ?

**Anonyme007** · Hier, 16h21

S'il y avait 1 au lieu de 0, comme borne, l'encadrement et le calcul de la limite à l'infini auront été facile à établir. D'où la question, est ce qu'on peut calculer $\text{[math]}$ à partir de $\text{[math]}$ ?.

**gg0** · Hier, 16h54

Ce que tu as fait au message #17 est vraiment très grossier. Ça ne permet pas d'assurer qu'il y a une limite, mais tu en parles quand même !
Et oui, on peut calculer $\displaystyle \int_0^n \dfrac{1}{1+e^{nt}} dt$ à partir de $\displaystyle \int_1^n \dfrac{1}{1+e^{nt}} dt$ , en calculant l'intégrale de 0 à1. Ce qui ne sert à rien, car le calcul global est le même !!!

Tu recommences à vouloir faire des preuves à partir d'idées qui ne marchent pas, ce n'est pas sérieux !

**epiKx** · Hier, 18h55

Bonjour,

Selon moi, on y arrive en encadrant mieux...

Bon courage

**epiKx** · Hier, 19h16

Avec un dessin?

**epiKx** · Hier, 19h39

Un indice: quel que soit x, e^x>x

**gg0** · Hier, 20h11

Même au niveau terminale (disons avec des maths !!), on peut calculer l'intégrale et on se ramène à des limites classiques.
Un indice : la dérivée de 1+exp(nt) est n exp(nt); faire apparaître exp(n t) au numérateur : 1 = 1+exp(nt) - exp(nt).

**Anonyme007** · Hier, 21h52

Bonsoir,

Merci à vous deux pour vos conseils.
gg0, ce n'est pas ce genre de méthode que je vais suivre, car c'est trop intriqué et compliqué. Je cherche une méthode la plus simple, et la plus élégante possible.
epiKx, il me semble que l'inégalité que tu proposes n'est valable que au voisinage de $\text{[math]}$ .

Voici ce que je propose comme solution,

On a, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . N'est ce pas ?
J'ai modifié légèrement les inégalités, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , découlant de la décroissance de la fonction, $\text{[math]}$ , sur $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
C'est à dire, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
D'où, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
C'est à dire, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
D'où, par passage à la limite, $\text{[math]}$ .
Et puisque, $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ .
Est ce que c'est correct ?

**gg0** · Hier, 22h07

Message trop rapide

**Anonyme007** · Hier, 22h08

Où est ce que c'est faux exactement ?

**Anonyme007** · Hier, 22h26

D'accord. On passe maintenant à la question $\text{[math]}$ du concours, qui figure à la minute 9 :51. Voici la question :
Préciser $\text{[math]}$ l'ensemble des points du plan complexe tels que, $\text{[math]}$ . Représentez cet ensemble.
Des idées ?
Merci d'avance.

**gg0** · Hier, 22h45

Après réflexion, on peut effectivement faire de la méthode par encadrement une preuve simple et rapide, en éliminant tout ce qui ne sert à rien :
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
donc
$\text{[math]}$
Quand n tend vers l'infini, ces deux derniers termes tendent vers 0, donc la suite proposée tend vers 0.

**gg0** · Hier, 22h47

Envoyé par Anonyme007

D'accord. On passe maintenant à la question $\text{[math]}$ du concours ....

Ah, c'est un concours et tu fais faire le travail par les autres ?????

**gg0** · Hier, 23h00

Bon, j'ai regardé la vidéo; ce qui m' amusé, c'est qu'Axel Arno proposait, pour ta suite d'intégrales, exactement la même chose que moi. Tu vas pouvoir lui écrire avec la bonne méthode pour faire vite.

Mais comme il a tout dit, tu peux répondre facilement toi même à la question 9.

Questions difficiles à faire en mathématiques.

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Re : Questions difficiles à faire en mathématiques.

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