Quelques questions mathématiques

[V13]

Bonjour !

J'ai plusieurs questions à soumettre :

1) Quelle est la nature ensemble (la définition en termes d'ensembles) de ce qu'est une relation binaire ?

2) Quelle est la nature des objets mathématiques qu'on nomme "relation de comparaisons" comme par exemple les équivalents, les petits o, les grands O, les notations de Laudau, etc. ?

3) Quelle est la différence entre un "ouvert de R" et un intervalle ouvert ?

4) Quelle est la différence entre un "ouvert de R" et le fait qu'une partie A de R admette un voisinage de a ? Il semblerait que tout point d'un ouvert admette un voisinage et que réciproquement, je vois mal des parties A de R admettant un voisinage autour d'un point a et qui ne serait pas des "ouvert de R".

5) Quelle est la différence entre un intervalle connexe et convexe pour R ?

6) Quelle est la différence entre une fonction et une application ?

7) L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Ainsi f(I) (l'image du segment) admet un minimum et un maximum (noté min et max). On note m un antécédent du min pour f(I) sur I et M un antécédent du max pour f(I) sur I.
Peut on toujours écrire que : f(I) = f([m,M]) (ou f([M,m]) ?

Merci d'avance !
-----

[invite82078308]

Il y a un certain nombre de questions dont la réponse est tout simplement une définition de cours.'
Pour 2) les "relations de comparaisons", on peut se contenter de voir cela comme des conventions de notation pratiques. Si on veut formaliser davantage, équivalent est une relation d'équivalence(!) entre fonctions, petit et grand O donneront des relations entre fonction, mais la notation avec le signe = est discutable.
http://gilles.dubois10.free.fr/analy...teslandau.html

[V13]

Il y a un certain nombre de questions dont la réponse est tout simplement une définition de cours.'
Pour 2) les "relations de comparaisons", on peut se contenter de voir cela comme des conventions de notation pratiques. Si on veut formaliser davantage, équivalent est une relation d'équivalence(!) entre fonctions, petit et grand O donneront des relations entre fonction, mais la notation avec le signe = est discutable.
http://gilles.dubois10.free.fr/analy...teslandau.html

C'est justement parce que ces points ne sont pas abordés dans mon cours que je me pose des questions.

Par exemple concernant la différence entre fonction et application il me semble avoir lu sur internet qu'une fonction ne donnait pas forcément une image pour chaque élément de son ensemble de départ mais une application doit donner une image pour tout réel de son ensemble de départ.

En gros R -> R, x -> 1/x est une fonction et R* -> R, x -> 1/x serait une application

Mais là encore c'est difficile de savoir exactement sur internet, peut être que j'ai fait une erreur de compréhension aussi, possible

[invite82078308]

Bon enfin, je vais vous donner quelques réponses :
Une relation binaire se représente en théorie des ensembles par une partie du produit cartésien de ces deux ensembles.
Tous les intervalles de IR sont à la fois connexes et convexes.
]0 , 1[ U ]2 , 3[ est un ouvert de IR mais pas un intervalle. (je vous laisse le montrer).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite82078308]

Pour la différence entre fonction et application, exprimé naïvement, c'est cela.Si on veut exprimer cela en théorie des ensemble, on considère fonctions et applications comme un cas particulier de relation binaire.
y=f(x) se traduit par (x,y) appartient au graphe de la relation (identifié à la relation selon la définition plus haut).
Dans le cas d'une fonction, pour chaque x il existe au plus un y tel que (x,y) appartient au graphe, dans le cas d'une application, il en existe un unique.

[invite82078308]

Encore une: noter f(I) l'image d'un intervalle par une fonction d'une variable réelle est un abus de notation.
Ne vous focalisez pas trop sur les notations.
Si on voulait noter les mathématiques d'une façon parfaitement satisfaisante du point de vue formel, cela deviendrait inextricable.

Pour les notions d'ouvert et de voisinage, essayez de comprendre mieux la définition, je ne sais ce que je pourrais vous dire de plus.

[invite23cdddab]

6) Quelle est la différence entre une fonction et une application ?

Cette distinction n'a pas grand intérêt en pratique, et beaucoup d'auteurs utilisent les deux termes de façon interchangeables.

[albanxiii]

Bonjour,

C'est justement parce que ces points ne sont pas abordés dans mon cours que je me pose des questions.

Je vais vous faire une révélation : il y a des tonnes de cours sur le net, en libre accès.

[V13]

Bonjour,



Je vais vous faire une révélation : il y a des tonnes de cours sur le net, en libre accès.

Pour trier et démêler le vrai du faux sur internet, il faut un certain temps...

[albanxiii]

Vous êtes sérieux ?
Qui vous dit qu'on ne vous raconte pas des calembredaines sur ce forum ?
Quand on voit l'ensemble de vos messages sur ce forum, je crois que la vraie raison est surtout la fainéantise.